Dados os vetores u=(5,0,2), v=(1,2,-1) e w=(0,2,2), determine 0 produto misto entre os três vetores nessa ordem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o produto misto dos vetores u = (5, 0, 2), v = (1, 2, -1) e w = (0, 2, 2). O produto misto é uma operação que envolve produto vetorial e produto escalar, então vamos precisar entender essas duas operações para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial entre os vetores v e w. O produto vetorial, denotado por v times w, resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para o produto vetorial é:
v times w = ( vy wz - vz wy, vz wx - vx wz, vx wy - vy wx )
Aplicando os valores:
v times w = ( 2 cdot 2 - (-1) cdot 2, (-1) cdot 0 - 1 cdot 2, 1 cdot 2 - 2 cdot 0 )
v times w = ( 4 + 2, 0 - 2, 2 - 0 )
v times w = (6, -2, 2)

Passo 3

Agora que temos o vetor resultante do produto vetorial, vamos calcular o produto escalar entre o vetor u e o vetor v times w. O produto escalar, denotado por u cdot (v times w), é dado por:
u cdot (v times w) = ux (v times w)x + uy (v times w)y + uz (v times w)z
Substituindo os valores:
u cdot (v times w) = 5 cdot 6 + 0 cdot (-2) + 2 cdot 2
u cdot (v times w) = 30 + 0 + 4
u cdot (v times w) = 34

Resposta

O produto misto entre os vetores u, v e w é 34.

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