Encontre um ponto inicial P de um vetor não nulo u=P Q com ponto final Q(3,0,-5) tal que u tem a mesma direção e sentido de v=(4,-2,-1).

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o ponto inicial de um vetor , onde o ponto final é dado por . Além disso, o vetor deve ter a mesma direção e sentido do vetor .
Para resolver isso, vamos precisar entender como vetores são calculados e como podemos relacionar dois vetores que têm a mesma direção e sentido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois vetores têm a mesma direção e sentido se um for múltiplo escalar positivo do outro. Isso significa que podemos escrever , onde é um número real positivo.

Passo 3

Sabemos que o vetor u = PQ = Q - P = (3 - x, , 0 - y, , -5 - z) é dado pelas coordenadas . Vamos representar o ponto pelas coordenadas . Então:

Passo 4

Agora, igualamos (3 - x, , -y, , -5 - z) = k(4, , -2, , -1) a 3 - x = 4k -y = -2k -5 - z = -k :
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver cada equação para encontrar em termos de :

Passo 6

Escolhemos x = 3 - 4(1) = -1 para simplificar (qualquer valor positivo de y = 2(1) = 2 funcionaria, mas 1 é mais direto):
z = -5 + 1 = -4

Resposta

O ponto inicial é .

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