Dados os vetores u=(2,-1,1), v=(1,1,-2) e w=(1,0,2). Determine os seguintes produtos mistos:
a) [u, v, 2 w]

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é que temos três vetores: u=(2,-1,1), v=(1,1,-2) e w=(1,0,2). A questão pede para a gente calcular o produto misto [u, v, 2w]. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de produto misto, que envolve o produto escalar e o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto misto [u, v, w] é calculado assim: u cdot (v times w). No nosso caso, precisamos calcular [u, v, 2w], que fica u cdot (v times 2w).

Passo 3

Aí, a gente pode simplificar o produto vetorial multiplicando o vetor w por 2 antes de fazer o cruzamento. Então, v times 2w = 2(v times w).

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial v times w. Tem a fórmula do determinante para isso:
v times w = i & j & k 1 & 1 & -2 1 & 0 & 2
Resolvendo o determinante:
v times w = (1 cdot 2 - (-2) cdot 0)i - (1 cdot 2 - (-2) cdot 1)j + (1 cdot 0 - 1 cdot 1)k = (2)i - (4)j - (1)k = (2, -4, -1)

Passo 5

Agora, multiplicamos esse resultado por 2:
2(v times w) = 2(2, -4, -1) = (4, -8, -2)

Passo 6

Por fim, calculamos o produto escalar de u com esse vetor:
u cdot (4, -8, -2) = 2 cdot 4 + (-1) cdot (-8) + 1 cdot (-2) = 8 + 8 - 2 = 14

Resposta

O produto misto [u, v, 2w] é igual a 14.

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