Determine a posição relativa entre os seguintes planos: e ;
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado pede para determinar a posição relativa entre dois planos, chamados e . Isso significa que precisamos descobrir se os planos são paralelos, coincidentes ou se eles se intersectam em uma linha. Para resolver isso, vamos precisar entender as equações paramétricas de cada plano e usar conceitos de geometria analítica, como vetores normais e condições de paralelismo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações paramétricas de cada plano de forma mais clara:
Para :
Para :
Aqui, e são os parâmetros que definem os pontos em cada plano.
Passo 3
Agora, vamos identificar os vetores diretores de cada plano. Em equações paramétricas, os coeficientes dos parâmetros e correspondem aos vetores diretores.
Para , temos:
Vetor diretor em :
Vetor diretor em :
Para , temos:
Vetor diretor em :
Vetor diretor em :
Passo 4
O próximo passo é encontrar o vetor normal de cada plano. O vetor normal é perpendicular a todos os vetores diretores do plano e pode ser encontrado usando o produto vetorial dos vetores diretores.
Para :
Então, .
Para simplificar, podemos dividir por -4: .
Para :
Então, .
Passo 5
Agora, vamos verificar se os vetores normais são paralelos. Dois vetores são paralelos se um for múltiplo escalar do outro.
Vamos comparar e .
Para que sejam múltiplos, deve existir um número tal que:
Da primeira equação, . Da segunda, . Como não existe um único que satisfaça as duas equações, os vetores normais não são múltiplos. Portanto, os planos não são paralelos.
Passo 6
Como os planos não são paralelos, eles devem se intersectar em uma linha. Para confirmar isso, podemos resolver o sistema de equações paramétricas para encontrar se existe uma solução comum.
Vamos igualar as equações de e :
Substituindo em e :
De :
Em :
Então, .
Verificando em :
Como isso não é verdadeiro, há algo errado. Vamos reavaliar nossos cálculos.
Passo 7
Desculpe pela confusão anterior. Vamos revisar os cálculos:
Temos e .
Substituindo em :
Multiplicando ambos os lados por 18 para eliminar as frações:
Isso não faz sentido, o que indica que não há solução comum. Portanto, os planos não se intersectam.
Resposta
Os planos e são paralelos e distintos, ou seja, eles não se encontram e nunca se cruzam.