Determine a posição relativa entre os seguintes planos: e Pi2:lx=alpha+beta-1 y=beta z=32-2 alpha;
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado pede para determinar a posição relativa entre dois planos, chamados Pi1 e Pi2. Isso significa que precisamos descobrir se os planos são paralelos, coincidentes ou se eles se intersectam em uma linha. Para resolver isso, vamos precisar entender as equações paramétricas de cada plano e usar conceitos de geometria analítica, como vetores normais e condições de paralelismo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações paramétricas de cada plano de forma mais clara:
Para Pi1:
x = -2alpha - 2beta y = 2alpha z = 3 - 4beta
Para Pi2:
x = alpha + beta - 1 y = beta z = 32 - 2alpha
Aqui, alpha e beta são os parâmetros que definem os pontos em cada plano.
Passo 3
Agora, vamos identificar os vetores diretores de cada plano. Em equações paramétricas, os coeficientes dos parâmetros alpha e beta correspondem aos vetores diretores.
Para Pi1, temos:
Vetor diretor em alpha: (-2, 2, 0)
Vetor diretor em beta: (-2, 0, -4)
Para Pi2, temos:
Vetor diretor em alpha: (1, 0, -2)
Vetor diretor em beta: (1, 1, 0)
Passo 4
O próximo passo é encontrar o vetor normal de cada plano. O vetor normal é perpendicular a todos os vetores diretores do plano e pode ser encontrado usando o produto vetorial dos vetores diretores.
Agora, vamos verificar se os vetores normais são paralelos. Dois vetores são paralelos se um for múltiplo escalar do outro.
Vamos comparar n1 = (2, 2, -1) e n2 = (2, -2, 1).
Para que sejam múltiplos, deve existir um número k tal que:
2 = 2k 2 = -2k -1 = k
Da primeira equação, k = 1. Da segunda, k = -1. Como não existe um único k que satisfaça as duas equações, os vetores normais não são múltiplos. Portanto, os planos não são paralelos.
Passo 6
Como os planos não são paralelos, eles devem se intersectar em uma linha. Para confirmar isso, podemos resolver o sistema de equações paramétricas para encontrar se existe uma solução comum.