Determine a posição relativa entre os seguintes planos:
Pi1:lx=-2 alpha-2 beta y=2 alpha z=3-4 beta e Pi2:lx=alpha+beta-1 y=beta z=32-2 alpha;

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para determinar a posição relativa entre dois planos, chamados Pi1 e Pi2. Isso significa que precisamos descobrir se os planos são paralelos, coincidentes ou se eles se intersectam em uma linha. Para resolver isso, vamos precisar entender as equações paramétricas de cada plano e usar conceitos de geometria analítica, como vetores normais e condições de paralelismo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações paramétricas de cada plano de forma mais clara:
Para Pi1:
x = -2alpha - 2beta y = 2alpha z = 3 - 4beta
Para Pi2:
x = alpha + beta - 1 y = beta z = 32 - 2alpha
Aqui, alpha e beta são os parâmetros que definem os pontos em cada plano.

Passo 3

Agora, vamos identificar os vetores diretores de cada plano. Em equações paramétricas, os coeficientes dos parâmetros alpha e beta correspondem aos vetores diretores.
Para Pi1, temos:
  • Vetor diretor em alpha: (-2, 2, 0)
  • Vetor diretor em beta: (-2, 0, -4)
Para Pi2, temos:
  • Vetor diretor em alpha: (1, 0, -2)
  • Vetor diretor em beta: (1, 1, 0)

Passo 4

O próximo passo é encontrar o vetor normal de cada plano. O vetor normal é perpendicular a todos os vetores diretores do plano e pode ser encontrado usando o produto vetorial dos vetores diretores.
Para Pi1:
n1 = i & j & k -2 & 2 & 0 -2 & 0 & -4 = (2 cdot (-4) - 0 cdot 0)i - (-2 cdot (-4) - 0 cdot (-2))j + (-2 cdot 0 - 2 cdot (-2))k = (-8)i - (8)j + (4)k
Então, n1 = (-8, -8, 4).
Para simplificar, podemos dividir por -4:
n1 = (2, 2, -1).
Para Pi2:
n2 = i & j & k 1 & 0 & -2 1 & 1 & 0 = (0 cdot 0 - (-2) cdot 1)i - (1 cdot 0 - (-2) cdot 1)j + (1 cdot 1 - 0 cdot 1)k = (2)i - (2)j + (1)k
Então, n2 = (2, -2, 1).

Passo 5

Agora, vamos verificar se os vetores normais são paralelos. Dois vetores são paralelos se um for múltiplo escalar do outro.
Vamos comparar n1 = (2, 2, -1) e n2 = (2, -2, 1).
Para que sejam múltiplos, deve existir um número k tal que:
2 = 2k 2 = -2k -1 = k
Da primeira equação, k = 1. Da segunda, k = -1. Como não existe um único k que satisfaça as duas equações, os vetores normais não são múltiplos. Portanto, os planos não são paralelos.

Passo 6

Como os planos não são paralelos, eles devem se intersectar em uma linha. Para confirmar isso, podemos resolver o sistema de equações paramétricas para encontrar se existe uma solução comum.
Vamos igualar as equações de Pi1 e Pi2:
-2alpha - 2beta = alpha + beta - 1 (1) 2alpha = beta (2) 3 - 4beta = 32 - 2alpha (3)
Substituindo (2) em (1) e (3):
De (2): beta = 2alpha
Em (1):
-2alpha - 2(2alpha) = alpha + 2alpha - 1 -2alpha - 4alpha = 3alpha -1 -6alpha = 3alpha -1 -9alpha = -1 alpha = 19
Então, beta = 2 cdot 19 = 29.
Verificando em (3):
3 - 4 cdot 29 = 32 - 2 cdot 19 3 - 89 = 32 - 29 279 - 89 = 2718 - 418 199 = 2318 3818 = 2318
Como isso não é verdadeiro, há algo errado. Vamos reavaliar nossos cálculos.

Passo 7

Desculpe pela confusão anterior. Vamos revisar os cálculos:
Temos alpha = 19 e beta = 29.
Substituindo em (3):
3 - 4 cdot 29 = 32 - 2 cdot 19 3 - 89 = 32 - 29 279 - 89 = 2718 - 418 199 = 2318
Multiplicando ambos os lados por 18 para eliminar as frações:
199 times 18 = 2318 times 18 38 = 23
Isso não faz sentido, o que indica que não há solução comum. Portanto, os planos não se intersectam.

Resposta

Os planos Pi1 e Pi2 são paralelos e distintos, ou seja, eles não se encontram e nunca se cruzam.

Exercícios relacionados