Determinar a equação geral do plano que contém as retas: , e ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação geral de um plano que contém duas retas dadas: e . Estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com planos e retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar determinar os vetores diretores de cada reta e encontrar um vetor normal ao plano usando o produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas e . Para a reta :
Aqui, o parâmetro é . Podemos escrever a reta em forma vetorial como:
Então, o vetor diretor da reta é .
Passo 3
Agora, vamos fazer o mesmo para a reta :
O parâmetro aqui é . Escrevendo em forma vetorial:
Então, o vetor diretor da reta é .
Passo 4
Para encontrar o vetor normal ao plano , que contém as retas e , vamos calcular o produto vetorial entre os vetores diretores e :
Vamos calcular:
Então, o vetor normal ao plano é .
Passo 5
Com o vetor normal e um ponto que pertence ao plano, podemos escrever a equação do plano. Vamos escolher, por exemplo, o ponto da reta para : .
A equação geral do plano é dada por:
Simplificando:
Podemos também dividir todos os termos por 2 para simplificar: