Determinar a equação geral do plano que contém as retas: , e s:lx=-2 beta+1 y=0 z=4 beta+1 , beta in R;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação geral de um plano Omega que contém duas retas dadas: r e s. Estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com planos e retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar determinar os vetores diretores de cada reta e encontrar um vetor normal ao plano usando o produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas r e s. Para a reta r:
r:l x=0 y=alpha z=alpha +3
Aqui, o parâmetro é alpha. Podemos escrever a reta em forma vetorial como:
r = 0 0 3 + alpha 0 1 1
Então, o vetor diretor da reta r é u = 0 1 1 .
Passo 3
Agora, vamos fazer o mesmo para a reta s:
s:l x=-2 beta +1 y=0 z=4 beta +1
O parâmetro aqui é beta. Escrevendo em forma vetorial:
s = 1 0 1 + beta -2 0 4
Então, o vetor diretor da reta s é v = -2 0 4 .
Passo 4
Para encontrar o vetor normal ao plano Omega, que contém as retas r e s, vamos calcular o produto vetorial entre os vetores diretores u e v:
Com o vetor normal n = (4, -2, 2) e um ponto que pertence ao plano, podemos escrever a equação do plano. Vamos escolher, por exemplo, o ponto da reta r para alpha=0: (0,0,3).
A equação geral do plano é dada por:
4(x - 0) - 2(y - 0) + 2(z - 3) = 0
Simplificando:
4x - 2y + 2z -6 =0
Podemos também dividir todos os termos por 2 para simplificar:
2x - y + z -3 =0
Resposta
A equação geral do plano Omega é 2x - y + z -3 = 0.