Dados vetores u=(2,1,1), v=(3,0,2) e w=(1,2,2), encontre, se existir, os escalares a, b, c tais que
a u+b v+c w=(2,4,3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores , e , e queremos achar os escalares , e que satisfazem a equação . Isso envolve entender um pouco de álgebra linear, especificamente como resolver sistemas de equações lineares para encontrar os valores desconhecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação vetorial de forma mais detalhada, multiplicando cada escalar pelo seu respectivo vetor:
a cdot (2, 1, 1) + b cdot (3, 0, 2) + c cdot (1, 2, 2) = (2, 4, 3)

Passo 3

Agora, vamos distribuir os escalares nos vetores:
(2a, , a, , a) + (3b, , 0b, , 2b) + (c, , 2c, , 2c) = (2, 4, 3)
Simplificando:
(2a + 3b + c, , a + 0b + 2c, , a + 2b + 2c) = (2, 4, 3)

Passo 4

Isso nos dá um sistema de três equações com três incógnitas:
2a + 3b + c = 2 a + 2c = 4 a + 2b + 2c = 3

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Começamos pela segunda equação para isolar o a = 4 - 2c :

Passo 6

Agora, substituímos 2(4 - 2c) + 3b + c = 2 8 - 4c + 3b + c = 2 3b - 3c = -6 b - c = -2 (dividindo tudo por 3) na primeira e na terceira equação:
Primeira equação:
(4 - 2c) + 2b + 2c = 3 4 - 2c + 2b + 2c = 3 2b + 4 = 3 2b = -1 b = -12
Terceira equação:

Passo 7

Com o valor de -12 - c = -2 -c = -2 + 12 -c = -32 c = 32 , podemos encontrar usando a equação :

Passo 8

Finalmente, usamos o valor de a = 4 - 2c = 4 - 2 ( 32 ) = 4 - 3 = 1 para encontrar :

Resposta

Os escalares que satisfazem a equação são , e .

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