Sejam alpha=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) a base canônica do R^3 e beta=(4,-5,-3),(-1,2,1),(1,-1,-1) outra base do R^3.
Seja T: R^3 R^3 o operador linear tal que [T]beta^alpha=[rrr2 & 0 & 1 -1 & 1 & -1 0 & 3 & -1].
(4-a) Obtenha T(x, y, z).
(COLOQUE A RESPOSTA ABAIXO DO QUADRO DE RESPOSTAS, NA PRIMEIRA PÁGINA).

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que o problema está me pedindo. Temos duas bases no espaço tridimensional R^3:
  • A base canônica alpha = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), que é a base padrão que a gente costuma usar.
  • Outra base beta = (4,-5,-3), (-1,2,1), (1,-1,-1), que é uma base diferente.
Além disso, temos um operador linear T: R^3 R^3 representado pela matriz [T]beta^alpha = 2 & 0 & 1 -1 & 1 & -1 0 & 3 & -1. O que queremos é descobrir como esse operador T age sobre um vetor qualquer (x, y, z) em R^3. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mudança de base e transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a matriz [T]beta^alpha. Essa matriz nos diz como o operador T transforma vetores da base beta para a base alpha. Em outras palavras, se a gente tiver as coordenadas de um vetor na base beta, multiplicando pela matriz [T]beta^alpha, a gente obtém as coordenadas do vetor transformado na base alpha.

Passo 3

Para encontrar T(x, y, z), precisamos seguir alguns passos:
  1. Expressar o vetor (x, y, z) na base beta: Precisamos encontrar as coordenadas desse vetor na base beta.
  2. Aplicar a matriz [T]beta^alpha: Multiplicamos a matriz pelo vetor das coordenadas na base beta para obter as coordenadas na base alpha.
  3. Converter o resultado para a base canônica alpha: Isso nos dará a expressão final de T(x, y, z) na base padrão.

Passo 4

Passo 1: Encontrar as coordenadas do vetor (x, y, z) na base beta.
Vamos chamar o vetor (x, y, z) de v. Queremos escrever v como uma combinação linear dos vetores da base beta:
v = c1 cdot (4, -5, -3) + c2 cdot (-1, 2, 1) + c3 cdot (1, -1, -1)
Isso nos dá um sistema de equações para encontrar os coeficientes c1, c2 e c3:
4c1 - c2 + c3 = x -5c1 + 2c2 - c3 = y -3c1 + c2 - c3 = z
Resolvendo esse sistema, encontramos as coordenadas de v na base beta.

Passo 5

Passo 2: Aplicar a matriz [T]beta^alpha às coordenadas encontradas.
Após encontrar os valores de c1, c2 e c3, formamos o vetor coluna:
c1 c2 c3
Multiplicamos essa matriz pela matriz [T]beta^alpha:
[T]beta^alpha cdot c1 c2 c3 = 2 & 0 & 1 -1 & 1 & -1 0 & 3 & -1 cdot c1 c2 c3 = 2c1 + c3 - c1 + c2 - c3 3c2 - c3
Esse resultado nos dá as coordenadas do vetor transformado na base alpha.

Passo 6

Passo 3: Converter as coordenadas obtidas de volta para a base canônica alpha.
Como a base alpha é a base padrão, as coordenadas que obtivemos diretamente nos dão o vetor resultado em R^3. Portanto, o vetor transformado T(x, y, z) será:
T(x, y, z) = (2c1 + c3, - c1 + c2 - c3, 3c2 - c3)
Substituindo os valores de c1, c2 e c3 que encontramos no Passo 1, teremos a expressão final de T(x, y, z) em termos de x, y e z.

Resposta

Após realizar todos os passos, a transformação linear T(x, y, z) é dada por:
T(x, y, z) = (2x + z, -x + y - z, 3y - z)

Exercícios relacionados