Sejam a base canônica do outra base do .
Seja o operador linear tal que .
(4-a) Obtenha T(x, y, z).
(COLOQUE A RESPOSTA ABAIXO DO QUADRO DE RESPOSTAS, NA PRIMEIRA PÁGINA).
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que o problema está me pedindo. Temos duas bases no espaço tridimensional R^3:
A base canônicaalpha = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), que é a base padrão que a gente costuma usar.
Outra base beta = (4,-5,-3), (-1,2,1), (1,-1,-1), que é uma base diferente.
Além disso, temos um operador linearT: R^3 R^3 representado pela matriz [T]beta^alpha = 2 & 0 & 1 -1 & 1 & -1 0 & 3 & -1. O que queremos é descobrir como esse operador T age sobre um vetor qualquer (x, y, z) em R^3. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mudança de base e transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a matriz [T]beta^alpha. Essa matriz nos diz como o operador T transforma vetores da base beta para a base alpha. Em outras palavras, se a gente tiver as coordenadas de um vetor na base beta, multiplicando pela matriz [T]beta^alpha, a gente obtém as coordenadas do vetor transformado na base alpha.
Passo 3
Para encontrar T(x, y, z), precisamos seguir alguns passos:
Expressar o vetor (x, y, z) na base beta: Precisamos encontrar as coordenadas desse vetor na base beta.
Aplicar a matriz [T]beta^alpha: Multiplicamos a matriz pelo vetor das coordenadas na base beta para obter as coordenadas na base alpha.
Converter o resultado para a base canônica alpha: Isso nos dará a expressão final de T(x, y, z) na base padrão.
Passo 4
Passo 1:Encontrar as coordenadas do vetor (x, y, z) na base beta.
Vamos chamar o vetor (x, y, z) de v. Queremos escrever v como uma combinação linear dos vetores da base beta:
Esse resultado nos dá as coordenadas do vetor transformado na base alpha.
Passo 6
Passo 3:Converter as coordenadas obtidas de volta para a base canônica alpha.
Como a base alpha é a base padrão, as coordenadas que obtivemos diretamente nos dão o vetor resultado em R^3. Portanto, o vetor transformado T(x, y, z) será:
T(x, y, z) = (2c1 + c3, - c1 + c2 - c3, 3c2 - c3)
Substituindo os valores de c1, c2 e c3 que encontramos no Passo 1, teremos a expressão final de T(x, y, z) em termos de x, y e z.
Resposta
Após realizar todos os passos, a transformação linear T(x, y, z) é dada por: