Encontre o centro e raios das elipses abaixo e faça um esboça da curva correspondente: x^2-6 x+y^2-10 y+25=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro e os raios da elipse dada pela equação . Para isso, vamos usar o conteúdo de Conic Sections (Seções Cônicas) e, mais especificamente, vamos completar o quadrado para identificar os parâmetros da elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para completar o quadrado tanto para o quanto para o . Isso ajuda a reescrever a equação da forma padrão da elipse.

Passo 3

Vamos completar o quadrado para os termos de x^2 - 6x:
x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de y^2 - 10y, que é -6, dividimos por 2, obtendo -3, e então elevamos ao quadrado, ficando 9. Assim:
y^2 - 10y = (y - 5)^2 - 25
Agora, fazemos o mesmo para os termos de :
Pegamos o coeficiente de , que é -10, dividimos por 2, obtendo -5, e elevamos ao quadrado, ficando 25. Então:

Passo 4

Substituímos essas expressões na equação original:
(x - 3)^2 - 9 + (y - 5)^2 - 25 + 25 = 0
Simplificamos os termos constantes:
(x - 3)^2 + (y - 5)^2 - 9 = 0
Isolamos os termos quadráticos:
(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 9

Passo 5

Agora, observamos que a equação está na forma padrão de um círculo, que é um caso especial de uma elipse onde os raios nas direções (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 e (x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 9 são iguais.
A forma padrão da equação de um círculo é:
Comparando com a nossa equação:
Podemos identificar:
  • Centro
  • Raio

Resposta

O centro da elipse é e os raios são unidades. A curva corresponde a um círculo com centro em e raio .

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