Encontre o centro e raios das elipses abaixo e faça um esboça da curva correspondente:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro e os raios da elipse dada pela equação
. Para isso, vamos usar o conteúdo de Conic Sections (Seções Cônicas) e, mais especificamente, vamos completar o quadrado para identificar os parâmetros da elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para completar o quadrado tanto para o
quanto para o
. Isso ajuda a reescrever a equação da forma padrão da elipse.
Passo 3
Vamos completar o quadrado para os termos de
:
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de
, que é -6, dividimos por 2, obtendo -3, e então elevamos ao quadrado, ficando 9. Assim:
Agora, fazemos o mesmo para os termos de
:
Pegamos o coeficiente de
, que é -10, dividimos por 2, obtendo -5, e elevamos ao quadrado, ficando 25. Então:
Passo 4
Substituímos essas expressões na equação original:
Simplificamos os termos constantes:
Isolamos os termos quadráticos:
Passo 5
Agora, observamos que a equação está na forma padrão de um círculo, que é um caso especial de uma elipse onde os raios nas direções
e
são iguais.
A forma padrão da equação de um círculo é:
Comparando com a nossa equação:
Podemos identificar:
- Centro
- Raio
Resposta
O centro da elipse é
e os raios são
unidades. A curva corresponde a um círculo com centro em
e raio
.