Determine uma equação cartesiana do plano contendo o ponto e perpendicular à reta parametrizada por , onde .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação cartesiana de um plano que passa pelo ponto e que é perpendicular a uma reta dada. Para isso, a gente vai usar conceitos de geometria analítica, como vetores normais e equações de planos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é a reta . Ela está parametrizada por:
Aqui, o parâmetro varia em todos os números reais. A partir dessas equações, podemos identificar o vetor diretor da reta, que são os coeficientes de . Então, o vetor diretor é:
Passo 3
Sabendo que o plano é perpendicular à reta , isso significa que o vetor diretor da reta é perpendicular ao plano. E uma propriedade importante é que o vetor normal do plano (um vetor perpendicular ao plano) é exatamente o vetor que está perpendicular a ele. Ou seja, podemos usar o vetor como o vetor normal do nosso plano:
Passo 4
Agora, vamos usar a equação geral do plano na forma ponto-normal. Essa forma é dada por:
onde é o ponto pelo qual o plano passa e são as componentes do vetor normal . No nosso caso, o ponto é e o vetor normal é . Substituindo esses valores na fórmula, temos:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação para deixar ela na forma cartesiana padrão. Primeiro, distribuímos os termos:
Agora, somamos os termos constantes:
Para deixar a equação mais elegante, podemos multiplicar todos os termos por 2 para eliminar a fração: