Determine uma equação cartesiana do plano contendo o ponto (1,1,1) e perpendicular à reta r parametrizada por x1=t-1, x2=2 t+1, x3=t2, onde t in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação cartesiana de um plano que passa pelo ponto (1,1,1) e que é perpendicular a uma reta r dada. Para isso, a gente vai usar conceitos de geometria analítica, como vetores normais e equações de planos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é a reta r. Ela está parametrizada por:
x1 = t - 1, x2 = 2t + 1, x3 = t2
Aqui, o parâmetro t varia em todos os números reais. A partir dessas equações, podemos identificar o vetor diretor da reta, que são os coeficientes de t. Então, o vetor diretor d é:
d = 1 2 12

Passo 3

Sabendo que o plano é perpendicular à reta r, isso significa que o vetor diretor da reta é perpendicular ao plano. E uma propriedade importante é que o vetor normal do plano (um vetor perpendicular ao plano) é exatamente o vetor que está perpendicular a ele. Ou seja, podemos usar o vetor d como o vetor normal n do nosso plano:
n = 1 2 12

Passo 4

Agora, vamos usar a equação geral do plano na forma ponto-normal. Essa forma é dada por:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
onde (x0, y0, z0) é o ponto pelo qual o plano passa e (a, b, c) são as componentes do vetor normal n. No nosso caso, o ponto é (1,1,1) e o vetor normal é n = (1, 2, 12). Substituindo esses valores na fórmula, temos:
1(x - 1) + 2(y - 1) + 12(z - 1) = 0

Passo 5

Vamos simplificar essa equação para deixar ela na forma cartesiana padrão. Primeiro, distribuímos os termos:
x - 1 + 2y - 2 + 12z - 12 = 0
Agora, somamos os termos constantes:
x + 2y + 12z - 72 = 0
Para deixar a equação mais elegante, podemos multiplicar todos os termos por 2 para eliminar a fração:
2x + 4y + z - 7 = 0

Resposta

A equação cartesiana do plano é:
2x + 4y + z - 7 = 0

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