Dados os vetores u=(1,2,3), v=(3,2,1) e w=(-3,2,7) em R^3, obtenha números alpha, beta tais que w=alpha u+beta v. Quantas soluções admite este problema?

Passo 1

Então, galera, vamos lá! A gente tem três vetores no espaço tridimensional: , e . A missão é encontrar os números e que façam com que . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sistemas de equações lineares. Precisaremos montar um sistema de equações baseado nas componentes dos vetores e resolver para e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação -3 = alpha cdot 1 + beta cdot 3 2 = alpha cdot 2 + beta cdot 2 7 = alpha cdot 3 + beta cdot 1 componente por componente. Isso significa que cada componente de deve ser igual à combinação linear das componentes correspondentes de e :

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos simplificar as equações para facilitar:
  1. Da primeira equação: 2 = 2(-3 - 3beta) + 2beta 2 = -6 - 6beta + 2beta 2 = -6 - 4beta 2 + 6 = -4beta 8 = -4beta beta = -2 alpha = -3 - 3(-2) alpha = -3 + 6 alpha = 3 .
  2. Da segunda equação: . Vamos substituir da primeira eq.:
  1. Agora que temos , substituímos de volta para encontrar :

Passo 4

Por fim, vamos verificar se esses valores satisfazem a terceira equação:
7 = 3 cdot 3 + (-2) cdot 1 7 = 9 - 2 7 = 7 (verdadeiro)
Então, encontramos uma única solução para e .

Resposta

e . O problema admite uma única solução.

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