Seja
um conjunto não vazio qualquer. O símbolo
representa o conjunto de todas as funções reais
. Mostre que
é um espaço vetorial quando se define a soma
de duas funções e o produto
do número
pela função
da seguinte maneira:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto
que não é vazio e está trabalhando com todas as funções que vão de
para os números reais, ou seja,
. O que a gente precisa mostrar é que esse conjunto de funções forma um espaço vetorial. Para isso, vamos usar os conceitos de soma de funções e multiplicação por escalar definidos por:
Vamos precisar verificar se todas as propriedades que definem um espaço vetorial são satisfeitas por
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo (nesse caso, os reais) é um conjunto onde a gente pode somar elementos e multiplicar por escalares, e que essas operações seguem algumas regras básicas, chamadas de axiomas. Vamos verificar cada um deles para
.
Passo 3
Axioma 1: Fechamento da soma. Isso significa que se a gente pegar duas funções
e
em
, a soma
também deve estar em
.
Como
é definida por
, e a soma de dois números reais é outro número real, a função
também mapeia
para
. Logo,
está em
.
Passo 4
Axioma 2: Fechamento da multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se a gente pegar uma função
em
e um número real
, então
também deve estar em
.
Como
, e a multiplicação de um número real por outro número real é também um número real, a função
mapeia
para
. Portanto,
está em
.
Passo 5
Axioma 3: Associação da soma. Para quaisquer funções
em
, a soma deve ser associativa:
Vamos verificar isso ponto a ponto:
Como as duas expressões são iguais para todo
, a associação na soma é satisfeita.
Passo 6
Axioma 4: Comutatividade da soma. Para quaisquer funções
em
, a soma deve ser comutativa:
Verificando:
Assim, a ordem na soma não altera o resultado.
Passo 7
Axioma 5: Existência do elemento neutro. Deve existir uma função
em
tal que:
A função zero é definida por
para todo
. Então:
Portanto,
é o elemento neutro.
Passo 8
Axioma 6: Existência do elemento inverso. Para cada função
em
, deve existir uma função
tal que:
Definimos
. Então:
Logo,
é o inverso de
.
Passo 9
Axioma 7: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores. Para um escalar
e funções
:
Verificando:
Assim, a distributividade é válida.
Passo 10
Axioma 8: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares. Para escalares
e função
:
Verificando:
Portanto, essa propriedade também se mantém.
Passo 11
Axioma 9: Associação da multiplicação por escalar. Para escalares
e a função
:
Verificando:
Logo, a associação é válida.
Passo 12
Axioma 10: Existência do escalar unitário. Existe um escalar
tal que:
Verificando:
Portanto,
atua como o multiplicador neutro.
Resposta
Como todas as dez propriedades necessárias para um espaço vetorial são satisfeitas por
com as operações definidas, concluímos que
é, de fato, um espaço vetorial.