Seja X um conjunto não vazio qualquer. O símbolo F(X ; R) representa o conjunto de todas as funções reais f, g: X R. Mostre que F(X ; R) é um espaço vetorial quando se define a soma f+g de duas funções e o produto alpha cdot f do número alpha pela função f da seguinte maneira:
(f+g)(x)=f(x)+g(x),(alpha cdot f)(x)=alpha cdot f(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto (f+g)(x) = f(x) + g(x), (alpha cdot f)(x) = alpha cdot f(x) que não é vazio e está trabalhando com todas as funções que vão de para os números reais, ou seja, . O que a gente precisa mostrar é que esse conjunto de funções forma um espaço vetorial. Para isso, vamos usar os conceitos de soma de funções e multiplicação por escalar definidos por:
Vamos precisar verificar se todas as propriedades que definem um espaço vetorial são satisfeitas por .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo (nesse caso, os reais) é um conjunto onde a gente pode somar elementos e multiplicar por escalares, e que essas operações seguem algumas regras básicas, chamadas de axiomas. Vamos verificar cada um deles para .

Passo 3

Axioma 1: Fechamento da soma. Isso significa que se a gente pegar duas funções e em , a soma também deve estar em .
Como é definida por , e a soma de dois números reais é outro número real, a função também mapeia para . Logo, está em .

Passo 4

Axioma 2: Fechamento da multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se a gente pegar uma função em e um número real , então também deve estar em .
Como , e a multiplicação de um número real por outro número real é também um número real, a função mapeia para . Portanto, está em .

Passo 5

Axioma 3: Associação da soma. Para quaisquer funções (f + g) + h = f + (g + h) em ((f + g) + h)(x) = (f + g)(x) + h(x) = f(x) + g(x) + h(x) , a soma deve ser associativa:
(f + (g + h))(x) = f(x) + (g + h)(x) = f(x) + g(x) + h(x)
Vamos verificar isso ponto a ponto:
Como as duas expressões são iguais para todo , a associação na soma é satisfeita.

Passo 6

Axioma 4: Comutatividade da soma. Para quaisquer funções f + g = g + f em (f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x) , a soma deve ser comutativa:
Verificando:
Assim, a ordem na soma não altera o resultado.

Passo 7

Axioma 5: Existência do elemento neutro. Deve existir uma função f + 0 = f para toda f in F(X ; R) em (f + 0)(x) = f(x) + 0(x) = f(x) + 0 = f(x) tal que:
A função zero é definida por para todo . Então:
Portanto, é o elemento neutro.

Passo 8

Axioma 6: Existência do elemento inverso. Para cada função f + (-f) = 0 em (f + (-f))(x) = f(x) + (-f)(x) = f(x) - f(x) = 0 , deve existir uma função tal que:
Definimos . Então:
Logo, é o inverso de .

Passo 9

Axioma 7: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores. Para um escalar alpha cdot (f + g) = alpha cdot f + alpha cdot g e funções (alpha cdot (f + g))(x) = alpha cdot (f + g)(x) = alpha cdot (f(x) + g(x)) = alpha cdot f(x) + alpha cdot g(x) :
(alpha cdot f + alpha cdot g)(x) = (alpha cdot f)(x) + (alpha cdot g)(x) = alpha cdot f(x) + alpha cdot g(x)
Verificando:
Assim, a distributividade é válida.

Passo 10

Axioma 8: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares. Para escalares (alpha + beta) cdot f = alpha cdot f + beta cdot f e função ((alpha + beta) cdot f)(x) = (alpha + beta) cdot f(x) = alpha cdot f(x) + beta cdot f(x) :
(alpha cdot f + beta cdot f)(x) = (alpha cdot f)(x) + (beta cdot f)(x) = alpha cdot f(x) + beta cdot f(x)
Verificando:
Portanto, essa propriedade também se mantém.

Passo 11

Axioma 9: Associação da multiplicação por escalar. Para escalares alpha cdot (beta cdot f) = (alpha beta) cdot f e a função (alpha cdot (beta cdot f))(x) = alpha cdot (beta cdot f)(x) = alpha (beta f(x)) = (alpha beta) f(x) :
((alpha beta) cdot f)(x) = (alpha beta) cdot f(x) = (alpha beta) f(x)
Verificando:
Logo, a associação é válida.

Passo 12

Axioma 10: Existência do escalar unitário. Existe um escalar 1 cdot f = f para toda f in F(X ; R) tal que:
(1 cdot f)(x) = 1 cdot f(x) = f(x)
Verificando:
Portanto, atua como o multiplicador neutro.

Resposta

Como todas as dez propriedades necessárias para um espaço vetorial são satisfeitas por com as operações definidas, concluímos que é, de fato, um espaço vetorial.

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