Seja um conjunto não vazio qualquer. O símbolo representa o conjunto de todas as funções reais . Mostre que é um espaço vetorial quando se define a soma de duas funções e o produto do número pela função da seguinte maneira:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto que não é vazio e está trabalhando com todas as funções que vão de para os números reais, ou seja, . O que a gente precisa mostrar é que esse conjunto de funções forma um espaço vetorial. Para isso, vamos usar os conceitos de soma de funções e multiplicação por escalar definidos por:
Vamos precisar verificar se todas as propriedades que definem um espaço vetorial são satisfeitas por .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo (nesse caso, os reais) é um conjunto onde a gente pode somar elementos e multiplicar por escalares, e que essas operações seguem algumas regras básicas, chamadas de axiomas. Vamos verificar cada um deles para .
Passo 3
Axioma 1: Fechamento da soma. Isso significa que se a gente pegar duas funções e em , a soma também deve estar em .
Como é definida por , e a soma de dois números reais é outro número real, a função também mapeia para . Logo, está em .
Passo 4
Axioma 2: Fechamento da multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se a gente pegar uma função em e um número real , então também deve estar em .
Como , e a multiplicação de um número real por outro número real é também um número real, a função mapeia para . Portanto, está em .
Passo 5
Axioma 3: Associação da soma. Para quaisquer funções em , a soma deve ser associativa:
Vamos verificar isso ponto a ponto:
Como as duas expressões são iguais para todo , a associação na soma é satisfeita.
Passo 6
Axioma 4: Comutatividade da soma. Para quaisquer funções em , a soma deve ser comutativa:
Verificando:
Assim, a ordem na soma não altera o resultado.
Passo 7
Axioma 5: Existência do elemento neutro. Deve existir uma função em tal que:
A função zero é definida por para todo . Então:
Portanto, é o elemento neutro.
Passo 8
Axioma 6: Existência do elemento inverso. Para cada função em , deve existir uma função tal que:
Definimos . Então:
Logo, é o inverso de .
Passo 9
Axioma 7: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores. Para um escalar e funções :
Verificando:
Assim, a distributividade é válida.
Passo 10
Axioma 8: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares. Para escalares e função :
Verificando:
Portanto, essa propriedade também se mantém.
Passo 11
Axioma 9: Associação da multiplicação por escalar. Para escalares e a função :
Verificando:
Logo, a associação é válida.
Passo 12
Axioma 10: Existência do escalar unitário. Existe um escalar tal que:
Verificando:
Portanto, atua como o multiplicador neutro.
Resposta
Como todas as dez propriedades necessárias para um espaço vetorial são satisfeitas por com as operações definidas, concluímos que é, de fato, um espaço vetorial.