Verificar se o munido das operações e é um espaço vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto , com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas da seguinte maneira:
é um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender os axiomas de um espaço vetorial e verificar se essas operações satisfazem todos eles.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é um espaço vetorial. Basicamente, é um conjunto de vetores onde podemos somar dois vetores e multiplicar um vetor por um escalar, obedecendo a certos axiomas (regras). Esses axiomas garantem que a estrutura se comporte de maneira consistente e previsível.
Para verificar se com as operações dadas é um espaço vetorial, precisamos checar cada um dos os 8 axiomas de um espaço vetorial:
Associatividade da Adição
Comutatividade da Adição
Elemento Neutro da Adição
Elemento Inverso da Adição
Compatibilidade da Multiplicação por Escalar com a Multiplicação de Escalares
Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar
Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores
Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares
Vamos verificar cada um deles passo a passo.
Passo 3
1. Associatividade da Adição
Teoria: Para todo , deve valer:
Aplicação: Usando a definição de adição dada:
Como a adição de números reais é associativa, as duas expressões são iguais. Então, o axioma da associatividade da adição é satisfeito.
Passo 4
2. Comutatividade da Adição
Teoria: Para todo , deve valer:
Aplicação: Usando a definição de adição:
Como a adição de números reais é comutativa, as duas expressões são iguais. Então, o axioma da comutatividade da adição é satisfeito.
Passo 5
3. Elemento Neutro da Adição
Teoria: Deve existir um vetor tal que, para todo :
Aplicação: Observando a definição de adição:
Para isso ser verdade para todo , deve ser . Então, o elemento neutro da adição é , satisfazendo o axioma.
Passo 6
4. Elemento Inverso da Adição
Teoria: Para todo , deve existir tal que:
Aplicação: Utilizando a definição de adição:
Portanto, cada vetor tem seu inverso aditivo, satisfazendo o axioma.
Passo 7
5. Compatibilidade da Multiplicação por Escalar com a Multiplicação de Escalares
Teoria: Para todo e todo , deve valer:
Aplicação: Segundo a definição de multiplicação por escalar dada:
Ambos os lados resultam em , então o axioma é satisfeito.
Passo 8
6. Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar
Teoria: Deve existir um escalar tal que, para todo :
Aplicação: De acordo com a definição de multiplicação por escalar:
Para ser igual a , teríamos que para todo , o que só é possível se . Como isso não é verdade para todos os vetores em , o axioma do elemento neutro da multiplicação por escalar não é satisfeito.
Passo 9
7. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores
Teoria: Para todo e para todos :
Aplicação: Vamos verificar:
Por outro lado:
Ambos os lados são iguais a , então este axioma é satisfeito.
Passo 10
8. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares
Teoria: Para todo e todo :
Aplicação: Vamos verificar:
Ambos os lados resultam em , então este axioma também é satisfeito.
Resposta
Embora a maioria dos axiomas seja satisfeita, o axioma do elemento neutro da multiplicação por escalar não é atendido. Portanto, com as operações definidas não é um espaço vetorial.