Verificar se o R^3 munido das operações (x1, y1, z1)+(x2, y2, z2)=(x1+ x2, y1+y2, z1+z2) e alpha(x, y, z)=(0,0,0) é um espaço vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto R^3, com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas da seguinte maneira:
(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
alpha cdot (x, y, z) = (0, 0, 0)
é um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender os axiomas de um espaço vetorial e verificar se essas operações satisfazem todos eles.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é um espaço vetorial. Basicamente, é um conjunto de vetores onde podemos somar dois vetores e multiplicar um vetor por um escalar, obedecendo a certos axiomas (regras). Esses axiomas garantem que a estrutura se comporte de maneira consistente e previsível.
Para verificar se R^3 com as operações dadas é um espaço vetorial, precisamos checar cada um dos os 8 axiomas de um espaço vetorial:
  1. Associatividade da Adição
  2. Comutatividade da Adição
  3. Elemento Neutro da Adição
  4. Elemento Inverso da Adição
  5. Compatibilidade da Multiplicação por Escalar com a Multiplicação de Escalares
  6. Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar
  7. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores
  8. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares
Vamos verificar cada um deles passo a passo.

Passo 3

1. Associatividade da Adição
Teoria: Para todo u, v, w in R^3, deve valer:
(u + v) + w = u + (v + w)
Aplicação: Usando a definição de adição dada:
(u + v) + w = ((x1 + x2) + x3, (y1 + y2) + y3, (z1 + z2) + z3)
u + (v + w) = (x1 + (x2 + x3), y1 + (y2 + y3), z1 + (z2 + z3))
Como a adição de números reais é associativa, as duas expressões são iguais. Então, o axioma da associatividade da adição é satisfeito.

Passo 4

2. Comutatividade da Adição
Teoria: Para todo u, v in R^3, deve valer:
u + v = v + u
Aplicação: Usando a definição de adição:
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
v + u = (x2 + x1, y2 + y1, z2 + z1)
Como a adição de números reais é comutativa, as duas expressões são iguais. Então, o axioma da comutatividade da adição é satisfeito.

Passo 5

3. Elemento Neutro da Adição
Teoria: Deve existir um vetor 0 in R^3 tal que, para todo u in R^3:
u + 0 = u
Aplicação: Observando a definição de adição:
u + 0 = (x + 0x, y + 0y, z + 0z) = (x, y, z)
Para isso ser verdade para todo u, 0 deve ser (0, 0, 0). Então, o elemento neutro da adição é (0, 0, 0), satisfazendo o axioma.

Passo 6

4. Elemento Inverso da Adição
Teoria: Para todo u in R^3, deve existir -u in R^3 tal que:
u + (-u) = 0
Aplicação: Utilizando a definição de adição:
u + (-u) = (x + (-x), y + (-y), z + (-z)) = (0, 0, 0) = 0
Portanto, cada vetor tem seu inverso aditivo, satisfazendo o axioma.

Passo 7

5. Compatibilidade da Multiplicação por Escalar com a Multiplicação de Escalares
Teoria: Para todo alpha, beta in R e todo u in R^3, deve valer:
alpha(beta u) = (alpha beta)u
Aplicação: Segundo a definição de multiplicação por escalar dada:
beta u = (0, 0, 0)
alpha(beta u) = alpha(0, 0, 0) = (0, 0, 0)
(alpha beta)u = (0, 0, 0)
Ambos os lados resultam em (0, 0, 0), então o axioma é satisfeito.

Passo 8

6. Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar
Teoria: Deve existir um escalar 1 in R tal que, para todo u in R^3:
1 cdot u = u
Aplicação: De acordo com a definição de multiplicação por escalar:
1 cdot u = (0, 0, 0)
Para ser igual a u, teríamos que (0, 0, 0) = (x, y, z) para todo u, o que só é possível se u = (0, 0, 0). Como isso não é verdade para todos os vetores em R^3, o axioma do elemento neutro da multiplicação por escalar não é satisfeito.

Passo 9

7. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores
Teoria: Para todo alpha in R e para todos u, v in R^3:
alpha(u + v) = alpha u + alpha v
Aplicação: Vamos verificar:
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
alpha(u + v) = alpha(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (0, 0, 0)
Por outro lado:
alpha u = (0, 0, 0) e alpha v = (0, 0, 0)
alpha u + alpha v = (0 + 0, 0 + 0, 0 + 0) = (0, 0, 0)
Ambos os lados são iguais a (0, 0, 0), então este axioma é satisfeito.

Passo 10

8. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares
Teoria: Para todo alpha, beta in R e todo u in R^3:
(alpha + beta)u = alpha u + beta u
Aplicação: Vamos verificar:
(alpha + beta)u = (0, 0, 0)
alpha u = (0, 0, 0) e beta u = (0, 0, 0)
alpha u + beta u = (0 + 0, 0 + 0, 0 + 0) = (0, 0, 0)
Ambos os lados resultam em (0, 0, 0), então este axioma também é satisfeito.

Resposta

Embora a maioria dos axiomas seja satisfeita, o axioma do elemento neutro da multiplicação por escalar não é atendido. Portanto, R^3 com as operações definidas não é um espaço vetorial.

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