Determine o conjunto solução dos seguintes sistemas lineares reais, usando os algoritmos de eliminação e eliminação total:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares juntos! O enunciado pede para encontrar o conjunto solução usando os métodos de eliminação e eliminação total. Vamos precisar lembrar como manipular equações para eliminar variáveis e chegar numa solução. Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem todas as três equações ao mesmo tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar as equações para facilitar a resolução. Vamos trazer todas as variáveis para o lado esquerdo e os números para o lado direito das igualdades.
As equações ficam assim:
x + 7y + z + 2z = 3 3x + y + 2z + 3z = 1 2x - 2y + 3z = 2
Agora, vamos simplificar as equações combinando os termos semelhantes.
Passo 3
Simplificando as equações:
Na primeira equação: x + 7y + 3z = 3 , então:
3x + y + 5z = 1
Na segunda equação: 2x - 2y + 3z = 2 , então:
x + 7y + 3z = 3 3x + y + 5z = 1 2x - 2y + 3z = 2
A terceira equação já está simplificada:
Agora, temos o sistema:
Passo 4
Vamos começar eliminando uma das variáveis. Vamos eliminar 3x + 21y + 9z = 9 das segunda e terceira equações comparando com a primeira.
Para isso, podemos multiplicar a primeira equação por 3 e subtrair da segunda, e multiplicar por 2 e subtrair da terceira.
Multiplicando a primeira equação por 3:
(3x + 21y + 9z) - (3x + y + 5z) = 9 - 1
Subtraindo a segunda equação dessa:
20y + 4z = 8
2x + 14y + 6z = 6
Agora, multiplicando a primeira equação por 2:
(2x + 14y + 6z) - (2x - 2y + 3z) = 6 - 2
Subtraindo a terceira equação dessa:
16y + 3z = 4
20y + 4z = 8 16y + 3z = 4
Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
Passo 5
Vamos simplificar essas duas equações para facilitar a eliminação. Podemos dividir a primeira equação por 4:
5y + z = 2
Agora, temos:
5y + z = 2 16y + 3z = 4
Agora, vamos eliminar uma das variáveis. Vamos eliminar 15y + 3z = 6 .
Multiplicando a primeira equação por 3:
(15y + 3z) - (16y + 3z) = 6 - 4
Agora, subtraindo a segunda equação dessa:
- y = 2
y = -2
Passo 6
Agora que temos 5(-2) + z = 2 , vamos substituir esse valor em uma das equações simplificadas para encontrar -10 + z = 2 . Vamos usar a equação z = 12 :
Passo 7
Com x + 7(-2) + 12 = 3 e x - 14 + 12 = 3 , vamos substituir esses valores na primeira equação original para encontrar x - 2 = 3 :