Dados os vetores e quaiquer, prove que os vetores , e são LD.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar que os vetores , e são linearmente dependentes (LD). A matéria que estamos trabalhando é álgebra linear, especificamente o conceito de dependência linear entre vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente dependentes e como encontrar uma combinação linear que nos ajude a provar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que vetores são linearmente dependentes. Tranquilo? Então, basicamente, se a gente conseguir achar escalares (números) diferentes de zero que, quando multiplicados pelos vetores e somados, resultam no vetor zero, então esses vetores são linearesmentes dependentes.
Matematicamente, queremos encontrar números , e tais que:
E, importante, pelo menos um desses números ( , , ou ) deve ser diferente de zero.

Passo 3

Agora, vamos substituir os vetores , e pelas expressões dadas no problema:
Substituindo na equação da dependência linear:

Passo 4

Vamos distribuir os escalares dentro dos parênteses:
Agora, vamos agrupar os termos que multiplicam os mesmos vetores , e :
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
Então, temos o sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de , e . Uma maneira simples é expressar uma variável em termos das outras e ir substituindo.
Da primeira equação:
Substituindo na terceira equação:
Agora, sabendo que e , vamos substituir na segunda equação:
Isso confirma que nossas relações estão corretas. Portanto, podemos escolher um valor para (como ) e encontrar e :

Resposta

Os vetores , e são linearmente dependentes, já que existe uma combinação não trivial .

Exercícios relacionados

Suponha que e sejam LI. É verdade que para qualquer outro vetor dado, é ainda LI? Justifique sua resposta.
Suponha que e sejam LD. É verdade que para qualquer outro vetor dado, é ainda LD? Justifique sua resposta.
Em cada parte, determine se o terno ordenado dado é uma solução do sistema linear
(d)
Sejam os vetores , e . Prove que: Os vetores e são LI se, e somente se, os vetores e são LI.