Dados os vetores e quaiquer, prove que os vetores , e são LD.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar que os vetores , e são linearmente dependentes (LD). A matéria que estamos trabalhando é álgebra linear, especificamente o conceito de dependência linear entre vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente dependentes e como encontrar uma combinação linear que nos ajude a provar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que vetores são linearmente dependentes. Tranquilo? Então, basicamente, se a gente conseguir achar escalares (números) diferentes de zero que, quando multiplicados pelos vetores e somados, resultam no vetor zero, então esses vetores são linearesmentes dependentes.
Matematicamente, queremos encontrar números , e tais que:
E, importante, pelo menos um desses números (, , ou ) deve ser diferente de zero.
Passo 3
Agora, vamos substituir os vetores , e pelas expressões dadas no problema:
Substituindo na equação da dependência linear:
Passo 4
Vamos distribuir os escalares dentro dos parênteses:
Agora, vamos agrupar os termos que multiplicam os mesmos vetores , e :
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Então, temos o sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de a, b e c. Uma maneira simples é expressar uma variável em termos das outras e ir substituindo.
Da primeira equação: a + 2b = 0Rightarrowa = -2b
Substituindo a = -2b na terceira equação:
-(-2b) + b - 3c = 0 2b + b - 3c = 0 3b - 3c = 0 b = c
Agora, sabendo que b = c e a = -2b, vamos substituir na segunda equação:
2(-2b) - 3b + 7c = 0 -4b - 3b + 7b = 0 0 = 0
Isso confirma que nossas relações estão corretas. Portanto, podemos escolher um valor para b (como b = 1) e encontrar a e c:
a = -2(1) = -2
c = 1
Resposta
Os vetores u, v e w são linearmente dependentes, já que existe uma combinação não trivial -2u + 1v + 1w = 0.