Dados os vetores u1, u2 e u3 quaiquer, prove que os vetores u=u1+2 u2-u3, v=2 u1-3 u2+u3 e w=7 u2-3 u3 são LD.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar que os vetores u, v e w são linearmente dependentes (LD). A matéria que estamos trabalhando é álgebra linear, especificamente o conceito de dependência linear entre vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente dependentes e como encontrar uma combinação linear que nos ajude a provar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que vetores são linearmente dependentes. Tranquilo? Então, basicamente, se a gente conseguir achar escalares (números) diferentes de zero que, quando multiplicados pelos vetores e somados, resultam no vetor zero, então esses vetores são linearesmentes dependentes.
Matematicamente, queremos encontrar números a, b e c tais que:
au + bv + cw = 0
E, importante, pelo menos um desses números ( a, b, ou c) deve ser diferente de zero.

Passo 3

Agora, vamos substituir os vetores u, v e w pelas expressões dadas no problema:
u = u1 + 2u2 - u3
v = 2u1 - 3u2 + u3
w = 7u2 - 3u3
Substituindo na equação da dependência linear:
a(u1 + 2u2 - u3) + b(2u1 - 3u2 + u3) + c(7u2 - 3u3) = 0

Passo 4

Vamos distribuir os escalares dentro dos parênteses:
au1 + 2au2 - au3 + 2bu1 - 3bu2 + bu3 + 7cu2 - 3cu3 = 0
Agora, vamos agrupar os termos que multiplicam os mesmos vetores u1, u2 e u3:
  • Coeficiente de u1: a + 2b
  • Coeficiente de u2: 2a - 3b + 7c
  • Coeficiente de u3: -a + b - 3c
Então, temos o sistema de equações:
a + 2b = 0 2a - 3b + 7c = 0 -a + b - 3c = 0

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de a, b e c. Uma maneira simples é expressar uma variável em termos das outras e ir substituindo.
Da primeira equação: a + 2b = 0 Rightarrow a = -2b
Substituindo a = -2b na terceira equação:
-(-2b) + b - 3c = 0 2b + b - 3c = 0 3b - 3c = 0 b = c
Agora, sabendo que b = c e a = -2b, vamos substituir na segunda equação:
2(-2b) - 3b + 7c = 0 -4b - 3b + 7b = 0 0 = 0
Isso confirma que nossas relações estão corretas. Portanto, podemos escolher um valor para b (como b = 1) e encontrar a e c:
  • a = -2(1) = -2
  • c = 1

Resposta

Os vetores u, v e w são linearmente dependentes, já que existe uma combinação não trivial -2u + 1v + 1w = 0.

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