Suponha que
e
sejam LD. É verdade que para qualquer outro vetor
dado,
é ainda LD? Justifique sua resposta.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos dois vetores,
e
, que são linearmente dependentes (LD). A questão quer saber se, adicionando qualquer outro vetor
ao conjunto
, esse novo conjunto ainda será linearmente dependente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente dependentes e como isso afeta a combinação com outros vetores.
Passo 2
O que significa vetores serem linearmente dependentes? Dois ou mais vetores são linearmente dependentes se pelo menos um deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. No caso de
e
, isso significa que existe um escalar
tal que
ou
.
Passo 3
Agora, consideramos o conjunto
. Queremos saber se esse conjunto é linearmente dependente. Lembrando que um conjunto de vetores é linearmente dependente se existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero. Ou seja, se existem escalares
,
, e
, não todos zero, tais que:
Passo 4
Sabemos que
e
são LD, então podemos escrever
. Substituindo isso na combinação linear:
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos uma combinação linear de
e
igual a zero. Para que isso seja verdade, devemos ter que:
Isso mostra que, mesmo adicionando
, ainda podemos encontrar escalários não todos zero (por exemplo,
,
) que satisfazem a equação. Portanto, o conjunto
continua sendo linearmente dependente.
Resposta
Sim, para qualquer vetor
, o conjunto
é linearmente dependente.