Suponha que e sejam LD. É verdade que para qualquer outro vetor dado, é ainda LD? Justifique sua resposta.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos dois vetores, e , que são linearmente dependentes (LD). A questão quer saber se, adicionando qualquer outro vetor ao conjunto , esse novo conjunto ainda será linearmente dependente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente dependentes e como isso afeta a combinação com outros vetores.
Passo 2
O que significa vetores serem linearmente dependentes? Dois ou mais vetores são linearmente dependentes se pelo menos um deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. No caso de e , isso significa que existe um escalar tal que ou .
Passo 3
Agora, consideramos o conjunto . Queremos saber se esse conjunto é linearmente dependente. Lembrando que um conjunto de vetores é linearmente dependente se existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero. Ou seja, se existem escalares , , e , não todos zero, tais que:
Passo 4
Sabemos que e são LD, então podemos escrever . Substituindo isso na combinação linear:
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos uma combinação linear de e igual a zero. Para que isso seja verdade, devemos ter que:
Isso mostra que, mesmo adicionando , ainda podemos encontrar escalários não todos zero (por exemplo, , ) que satisfazem a equação. Portanto, o conjunto continua sendo linearmente dependente.
Resposta
Sim, para qualquer vetor , o conjunto é linearmente dependente.