Suponha que u e v sejam LD. É verdade que para qualquer outro vetor w dado, u, v, w é ainda LD? Justifique sua resposta.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos dois vetores, u e v, que são linearmente dependentes (LD). A questão quer saber se, adicionando qualquer outro vetor w ao conjunto u, v, w, esse novo conjunto ainda será linearmente dependente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente dependentes e como isso afeta a combinação com outros vetores.

Passo 2

O que significa vetores serem linearmente dependentes? Dois ou mais vetores são linearmente dependentes se pelo menos um deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. No caso de u e v, isso significa que existe um escalar k tal que v = ku ou u = kv.

Passo 3

Agora, consideramos o conjunto u, v, w. Queremos saber se esse conjunto é linearmente dependente. Lembrando que um conjunto de vetores é linearmente dependente se existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero. Ou seja, se existem escalares a, b, e c, não todos zero, tais que:
au + bv + cw = 0

Passo 4

Sabemos que u e v são LD, então podemos escrever v = ku. Substituindo isso na combinação linear:
au + b(ku) + cw = 0
Simplificando:
(a + bk)u + cw = 0

Passo 5

Agora, temos uma combinação linear de u e w igual a zero. Para que isso seja verdade, devemos ter que:
a + bk = 0 e c = 0
Isso mostra que, mesmo adicionando w, ainda podemos encontrar escalários não todos zero (por exemplo, a = -bk, c = 0) que satisfazem a equação. Portanto, o conjunto u, v, w continua sendo linearmente dependente.

Resposta

Sim, para qualquer vetor w, o conjunto u, v, w é linearmente dependente.

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