Suponha que u e v sejam LI. É verdade que para qualquer outro vetor w dado, u, v, w é ainda LI? Justifique sua resposta.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, u e v, que são linearmente independentes (LI). A pergunta é: para qualquer outro vetor w, o conjunto u, v, w também será LI?
Para resolver isso, precisamos saber o que significa vetores serem linearmente independentes e como isso se aplica a um conjunto com mais vetores.

Passo 2

Linearmente Independente (LI) significa que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Em outras palavras, se tivermos uma combinação au + bv = 0, a única solução é a = 0 e b = 0.

Passo 3

Agora, queremos saber se adicionando um terceiro vetor w ao conjunto, mantendo u e v como LI, o novo conjunto u, v, w continua sendo LI para qualquer w.

Passo 4

Para verificar a LI do conjunto u, v, w, precisamos ver se a equação au + bv + cw = 0 tem apenas a solução trivial a = b = c = 0.

Passo 5

Se w puder ser escrito como uma combinação linear de u e v, ou seja, w = ku + mv para alguns escalares k e m, então podemos substituir na equação:
au + bv + c(ku + mv) = 0
Rightarrow (a + ck)u + (b + cm)v = 0
Como u e v são LI, isso implica que:
a + ck = 0
b + cm = 0
Isso não necessariamente força c a ser zero, a menos que k e m sejam zero, o que não é garantido. Portanto, existem soluções não triviais para a, b e c, o que significa que os vetores não são LI.

Passo 6

Por outro lado, se w não puder ser escrito como uma combinação linear de u e v, então o conjunto u, v, w será LI, pois a única solução da equação seria a = b = c = 0.

Resposta

Não, não é verdade que u, v, w seja linearmente independente para qualquer vetor w. A independência depende de w não poder ser escrito como uma combinação linear de u e v.

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