Suponha que
e
sejam LI. É verdade que para qualquer outro vetor
dado,
é ainda LI? Justifique sua resposta.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores,
e
, que são linearmente independentes (LI). A pergunta é: para qualquer outro vetor
, o conjunto
também será LI?
Para resolver isso, precisamos saber o que significa vetores serem linearmente independentes e como isso se aplica a um conjunto com mais vetores.
Passo 2
Linearmente Independente (LI) significa que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Em outras palavras, se tivermos uma combinação
, a única solução é
e
.
Passo 3
Agora, queremos saber se adicionando um terceiro vetor
ao conjunto, mantendo
e
como LI, o novo conjunto
continua sendo LI para qualquer
.
Passo 4
Para verificar a LI do conjunto
, precisamos ver se a equação
tem apenas a solução trivial
.
Passo 5
Se
puder ser escrito como uma combinação linear de
e
, ou seja,
para alguns escalares
e
, então podemos substituir na equação:
Como
e
são LI, isso implica que:
Isso não necessariamente força
a ser zero, a menos que
e
sejam zero, o que não é garantido. Portanto, existem soluções não triviais para
,
e
, o que significa que os vetores não são LI.
Passo 6
Por outro lado, se
não puder ser escrito como uma combinação linear de
e
, então o conjunto
será LI, pois a única solução da equação seria
.
Resposta
Não, não é verdade que
seja linearmente independente para qualquer vetor
. A independência depende de
não poder ser escrito como uma combinação linear de
e
.
Exercícios relacionados
Suponha que
e
sejam LD. É verdade que para qualquer outro vetor
dado,
é ainda LD? Justifique sua resposta.
Sejam os vetores
,
e
. Prove que: Os vetores
e
são LI se, e somente se, os vetores
e
são LI.
Dados os vetores
e
quaiquer, prove que os vetores
,
e
são LD.
Em cada parte, determine se o terno ordenado dado é uma solução do sistema linear
(d)