Suponha que e sejam LI. É verdade que para qualquer outro vetor dado, é ainda LI? Justifique sua resposta.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, e , que são linearmente independentes (LI). A pergunta é: para qualquer outro vetor , o conjunto também será LI?
Para resolver isso, precisamos saber o que significa vetores serem linearmente independentes e como isso se aplica a um conjunto com mais vetores.

Passo 2

Linearmente Independente (LI) significa que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Em outras palavras, se tivermos uma combinação , a única solução é e .

Passo 3

Agora, queremos saber se adicionando um terceiro vetor ao conjunto, mantendo e como LI, o novo conjunto continua sendo LI para qualquer .

Passo 4

Para verificar a LI do conjunto , precisamos ver se a equação tem apenas a solução trivial .

Passo 5

Se puder ser escrito como uma combinação linear de e , ou seja, para alguns escalares e , então podemos substituir na equação:

Como e são LI, isso implica que:

Isso não necessariamente força a ser zero, a menos que e sejam zero, o que não é garantido. Portanto, existem soluções não triviais para , e , o que significa que os vetores não são LI.

Passo 6

Por outro lado, se não puder ser escrito como uma combinação linear de e , então o conjunto será LI, pois a única solução da equação seria .

Resposta

Não, não é verdade que seja linearmente independente para qualquer vetor . A independência depende de não poder ser escrito como uma combinação linear de e .

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Suponha que e sejam LD. É verdade que para qualquer outro vetor dado, é ainda LD? Justifique sua resposta.
Sejam os vetores , e . Prove que: Os vetores e são LI se, e somente se, os vetores e são LI.
Dados os vetores e quaiquer, prove que os vetores , e são LD.
Em cada parte, determine se o terno ordenado dado é uma solução do sistema linear
(d)