Dados os vetores V=(a, 5 b,-2 c) e W=(-3 a, x, y), determinar x e y para que V times W=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois vetores: e . O objetivo é encontrar os valores de e de modo que o produto vetorial seja igual a zero. Isso está relacionado ao estudo de vetores e suas operações, mais especificamente ao produto vetorial que nos ajuda a determinar se dois vetores são paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto vetorial de dois vetores em três dimensões. Se temos dois vetores V times W = ( v2 w3 - v3 w2,; v3 w1 - v1 w3,; v1 w2 - v2 w1 ) e , o produto vetorial é dado por:

Passo 3

Aplicando essa fórmula aos nossos vetores V times W = ( 5b cdot y - (-2c) cdot x,; (-2c) cdot (-3a) - a cdot y,; a cdot x - 5b cdot (-3a) ) e 5b cdot y - (-2c) cdot x = 5b y + 2c x :
(-2c) cdot (-3a) - a cdot y = 6a c - a y
Vamos simplificar cada componente:
  1. Primeira componente:
a cdot x - 5b cdot (-3a) = a x + 15a b
  1. Segunda componente:
  1. Terceira componente:

Passo 4

Para que o produto vetorial seja igual a zero, todas as componentes devem ser iguais a zero. Então, temos o seguinte sistema de equações:
5b y + 2c x = 0 6a c - a y = 0 a x + 15a b = 0

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Começando pela segunda equação:
6a c - a y = 0 implies a y = 6a c implies y = 6c
Aqui, assumimos que para dividir ambos os lados por .

Passo 6

Agora que temos 5b (6c) + 2c x = 0 implies 30b c + 2c x = 0 , substituímos esse valor na primeira equação:
2c (15b + x) = 0
Podemos fatorar 15b + x = 0 implies x = -15b :
Assumindo que , temos:

Passo 7

Por último, verificamos a terceira equação com a (-15b) + 15a b = 0 implies -15a b + 15a b = 0 implies 0 = 0 :
Isso confirma que nossos valores para e são consistentes.

Resposta

Os valores que satisfazem x = -15b e y = 6c são:

Exercícios relacionados