Beleza, vamos lá! Temos dois vetores: e . O objetivo é encontrar os valores de e de modo que o produto vetorial seja igual a zero. Isso está relacionado ao estudo de vetores e suas operações, mais especificamente ao produto vetorial que nos ajuda a determinar se dois vetores são paralelos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto vetorial de dois vetores em três dimensões. Se temos dois vetores e , o produto vetorial é dado por:
Passo 3
Aplicando essa fórmula aos nossos vetores e :
Vamos simplificar cada componente:
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Passo 4
Para que o produto vetorial seja igual a zero, todas as componentes devem ser iguais a zero. Então, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Começando pela segunda equação:
6a c - a y = 0 implies a y = 6a c implies y = 6c
Aqui, assumimos que para dividir ambos os lados por .
Passo 6
Agora que temos 5b (6c) + 2c x = 0 implies 30b c + 2c x = 0 , substituímos esse valor na primeira equação:
2c (15b + x) = 0
Podemos fatorar 15b + x = 0 implies x = -15b :
Assumindo que , temos:
Passo 7
Por último, verificamos a terceira equação com a (-15b) + 15a b = 0 implies -15a b + 15a b = 0 implies 0 = 0 :
Isso confirma que nossos valores para e são consistentes.