(lta 2011) A soma de todas as soluções da equação em
:
é igual a:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação envolvendo números complexos:
Aqui,
é um número complexo,
representa o módulo de
, e
é a unidade imaginária. Nosso objetivo é encontrar a soma de todas as soluções dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre números complexos e como manipular equações que envolvem módulos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número complexo
pode ser escrito como
, onde
e
são números reais. O módulo de
é dado por:
Então,
. Vamos substituir
por
na equação original.
Passo 3
Substituindo
na equação:
Vamos expandir e simplificar cada parte:
-
(porque ) -
Agora, substituindo de volta:
Passo 4
Vamos combinar os termos semelhantes:
- Termos reais:
- Termos imaginários:
Então, a equação fica:
Para que essa igualdade seja verdadeira, tanto a parte real quanto a imaginária devem ser iguais a zero:
- Parte real:
- Parte imaginária:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações:
-
→ -
→
Da segunda equação, temos duas possibilidades:
-
-
→
Vamos analisar cada caso.
Passo 6
Caso 1:
Substituindo na equação
:
Então, uma solução é
.
Caso 2:
Substituindo na equação
:
Então, temos duas soluções:
-
→ -
→
Passo 7
Agora, temos todas as soluções da equação:
Passo 8
Para encontrar a soma de todas as soluções, somamos
:
Vamos somar os termos reais e imaginários separadamente:
- Termos reais:
- Termos imaginários:
Resposta
A soma de todas as soluções da equação é igual a: