(lta 2011) A soma de todas as soluções da equação em : é igual a:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação envolvendo números complexos:
Aqui, é um número complexo, representa o módulo de , e é a unidade imaginária. Nosso objetivo é encontrar a soma de todas as soluções dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre números complexos e como manipular equações que envolvem módulos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número complexo pode ser escrito como , onde e são números reais. O módulo de é dado por:
Então, . Vamos substituir por na equação original.
Passo 3
Substituindo na equação:
Vamos expandir e simplificar cada parte:
(porque )
Agora, substituindo de volta:
Passo 4
Vamos combinar os termos semelhantes:
Termos reais:
Termos imaginários:
Então, a equação fica:
Para que essa igualdade seja verdadeira, tanto a parte real quanto a imaginária devem ser iguais a zero:
Parte real:
Parte imaginária:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações:
→
→
Da segunda equação, temos duas possibilidades:
→
Vamos analisar cada caso.
Passo 6
Caso 1:
Substituindo na equação :
Então, uma solução é .
Caso 2:
Substituindo na equação :
Então, temos duas soluções:
→
→
Passo 7
Agora, temos todas as soluções da equação:
Passo 8
Para encontrar a soma de todas as soluções, somamos :
Vamos somar os termos reais e imaginários separadamente: