(lta 2011) A soma de todas as soluções da equação em C: z^2+|z|^2+i z-1=0 é igual a:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação envolvendo números complexos:
z^2 + |z|^2 + i z - 1 = 0
Aqui, é um número complexo, representa o módulo de , e é a unidade imaginária. Nosso objetivo é encontrar a soma de todas as soluções dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre números complexos e como manipular equações que envolvem módulos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo |z| = raiza^2 + b^2 pode ser escrito como , onde e são números reais. O módulo de é dado por:
Então, . Vamos substituir por na equação original.

Passo 3

Substituindo (a + b i)^2 + (a^2 + b^2) + i (a + b i) - 1 = 0 na equação:
(a^2 + 2 a b i - b^2) + (a^2 + b^2) + (a i - b) - 1 = 0
Vamos expandir e simplificar cada parte:
  1. (porque )
Agora, substituindo de volta:

Passo 4

Vamos combinar os termos semelhantes:
  • Termos reais: 2 a^2 - b - 1 + i (2 a b + a) = 0
  • Termos imaginários:
Então, a equação fica:
Para que essa igualdade seja verdadeira, tanto a parte real quanto a imaginária devem ser iguais a zero:
  1. Parte real:
  2. Parte imaginária:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações:
Da segunda equação, temos duas possibilidades:
Vamos analisar cada caso.

Passo 6

Caso 1: b = 2 (0)^2 - 1 = -1
Substituindo na equação -12 = 2 a^2 - 1 :
2 a^2 = 12
Então, uma solução é a^2 = 14 .
Caso 2: a = pm 12
Substituindo na equação :
Então, temos duas soluções:

Passo 7

Agora, temos todas as soluções da equação:

Passo 8

Para encontrar a soma de todas as soluções, somamos (-i) + ( 12 - 12 i ) + ( -12 - 12 i ) :
Vamos somar os termos reais e imaginários separadamente:
  • Termos reais:
  • Termos imaginários:

Resposta

A soma de todas as soluções da equação é igual a:
-2 i

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