(lta 2011) A soma de todas as soluções da equação em : é igual a:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação envolvendo números complexos:
Aqui, é um número complexo, representa o módulo de , e é a unidade imaginária. Nosso objetivo é encontrar a soma de todas as soluções dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre números complexos e como manipular equações que envolvem módulos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo pode ser escrito como , onde e são números reais. O módulo de é dado por:
Então, . Vamos substituir por na equação original.

Passo 3

Substituindo na equação:
Vamos expandir e simplificar cada parte:
  1. (porque )
Agora, substituindo de volta:

Passo 4

Vamos combinar os termos semelhantes:
  • Termos reais:
  • Termos imaginários:
Então, a equação fica:
Para que essa igualdade seja verdadeira, tanto a parte real quanto a imaginária devem ser iguais a zero:
  1. Parte real:
  2. Parte imaginária:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações:
Da segunda equação, temos duas possibilidades:
Vamos analisar cada caso.

Passo 6

Caso 1:
Substituindo na equação :
Então, uma solução é .
Caso 2:
Substituindo na equação :
Então, temos duas soluções:

Passo 7

Agora, temos todas as soluções da equação:

Passo 8

Para encontrar a soma de todas as soluções, somamos :
Vamos somar os termos reais e imaginários separadamente:
  • Termos reais:
  • Termos imaginários:

Resposta

A soma de todas as soluções da equação é igual a:

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