Diga se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique. (A+B)^T=B^T+A^T.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para dizer se a afirmação (A+B)^T=B^T+A^T é verdadeira ou falsa. Estamos lidando com matrizes e a operação de transposição. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é transpor uma matriz e como a transposta se comporta em relação à soma de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a transposta de uma matriz. Transpor uma matriz significa trocar suas linhas por colunas. Se você tem uma matriz A, sua transposta A^T terá as linhas de A como colunas de A^T e vice-versa.

Passo 3

Agora, uma propriedade importante da transposta é que ela distribui sobre a soma de matrizes. Isso quer dizer que a transposta da soma de duas matrizes é igual à soma das transpostas das matrizes individualmente. Ou seja:
(A + B)^T = A^T + B^T

Passo 4

Na afirmação que queremos verificar, temos (A+B)^T=B^T+A^T. Observamos que A^T + B^T é o mesmo que B^T + A^T porque a adição de matrizes é comutativa (a ordem não altera o resultado).

Passo 5

Portanto, (A+B)^T = B^T + A^T é verdade, pois a transposta da soma é igual à soma das transpostas, e a ordem dos termos na soma não importa.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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