Diga se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique. Se o produto
está bem definido, então
é uma matriz quadrada.
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “Se o produto
está bem definido, então
é uma matriz quadrada.” Aqui, estamos trabalhando com o conteúdo de Multiplicação de Matrizes, mais especificamente sobre as dimensões das matrizes que permitem essa operação. Precisamos entender quais condições as dimensões de
devem satisfazer para que o produto
seja possível.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a multiplicação de matrizes. Se temos uma matriz
de dimensão
(com
linhas e
colunas) e queremos multiplicá-la por outra matriz
de dimensão
, o produto
está bem definido somente se o número de colunas de
(
) for igual ao número de linhas de
(
). O resultado será uma matriz de dimensão
.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso, queremos multiplicar
por ela mesma, ou seja,
. Se
tem dimensão
, para que
seja possível, o número de colunas de
deve ser igual ao número de linhas de
. Ou seja,
deve ser igual a
.
Passo 4
Isso significa que a única maneira de
estar bem definido é se
for uma matriz quadrada, onde o número de linhas é igual ao número de colunas (
). Se
não for quadrada, ou seja, se
, o produto
não será possível.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se o produto
está bem definido, então
necessariamente deve ser uma matriz quadrada.
Exercícios relacionados
Dados os vetores
e
, determinar x e y para que
.
Diga se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
.
(lta 2011) A soma de todas as soluções da equação em
:
é igual a:
Reduza as matrizes à forma escalonada reduzida por linhas. Calcule seus postos e nulidades.