Diga se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique. Se o produto está bem definido, então é uma matriz quadrada.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: “Se o produto está bem definido, então é uma matriz quadrada.” Aqui, estamos trabalhando com o conteúdo de Multiplicação de Matrizes, mais especificamente sobre as dimensões das matrizes que permitem essa operação. Precisamos entender quais condições as dimensões de devem satisfazer para que o produto seja possível.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a multiplicação de matrizes. Se temos uma matriz de dimensão (com linhas e colunas) e queremos multiplicá-la por outra matriz de dimensão , o produto está bem definido somente se o número de colunas de ( ) for igual ao número de linhas de ( ). O resultado será uma matriz de dimensão .

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, queremos multiplicar por ela mesma, ou seja, . Se tem dimensão , para que seja possível, o número de colunas de deve ser igual ao número de linhas de . Ou seja, deve ser igual a .

Passo 4

Isso significa que a única maneira de estar bem definido é se for uma matriz quadrada, onde o número de linhas é igual ao número de colunas ( ). Se não for quadrada, ou seja, se , o produto não será possível.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se o produto está bem definido, então necessariamente deve ser uma matriz quadrada.

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