Dados os vetores V=2 i+4 j-5 k e U=2 i+2 k, determine o ângulo entre eles. R: arccos (-1 / 5).

Passo 1

Então, a gente tem dois vetores aqui: V = 2i + 4j - 5k e U = 2i + 2k. A tarefa é descobrir qual é o ângulo entre esses dois vetores. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o cálculo do produto escalar e a fórmula do cosseno do ângulo entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores V e U é dado por:
V cdot U = Vx Ux + Vy Uy + Vz Uz
Então, vamos calcular isso com os valores que temos.

Passo 3

Calculando o produto escalar:
V cdot U = (2)(2) + (4)(0) + (-5)(2) = 4 + 0 - 10 = -6

Passo 4

Agora, precisamos calcular a magnitude (ou módulo) de cada vetor. A magnitude de um vetor V = Vx i + Vy j + Vz k é:
||V|| = raizVx^2 + Vy^2 + Vz^2
Vamos fazer isso para V e U.

Passo 5

Calculando as magnitudes:
||V|| = raiz2^2 + 4^2 + (-5)^2 = raiz4 + 16 + 25 = raiz45 = 3raiz5
||U|| = raiz2^2 + 0^2 + 2^2 = raiz4 + 0 + 4 = raiz8 = 2raiz2

Passo 6

Agora, usamos a fórmula do cosseno do ângulo theta entre os vetores:
cos(theta) = V cdot U||V|| , ||U||
Substituindo os valores que encontramos:
cos(theta) = -63raiz5 times 2raiz2 = -66raiz10 = -1raiz10 = -raiz1010
Para simplificar, podemos racionalizar o denominador:
cos(theta) = -1raiz10 approx -0,3162

Passo 7

Finalmente, para encontrar o ângulo theta, tiramos o arco cosseno desse valor:
theta = arccos(-15)

Resposta

O ângulo entre os vetores V e U é arccos(-15).

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