Dados os vetores V1=-i+3 j+4 k, V2=3 i-2 j+8 k e V3=4 i+4 j+4 k, calccule V1 cdot(V2 times V3) e (V1 times(V2) cdot V3). São diferentes? Mostre que este resultado é válido para quaisquer três vetores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos três vetores:
  • V1 = -i + 3j + 4k
  • V2 = 3i - 2j + 8k
  • V3 = 4i + 4j + 4k
A gente precisa calcular duas coisas:
  1. O produto escalar de V1 com o produto vetorial de V2 e V3, ou seja, V1 cdot (V2 times V3).
  2. O produto escalar do produto vetorial de V1 e V2 com V3, ou seja, (V1 times V2) cdot V3.
Queremos ver se esses resultados são diferentes e provar que isso é válido para qualquer três vetores. Para isso, vamos usar as operações de produto escalar e vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial V2 times V3. O produto vetorial entre dois vetores resulta em outro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para o produto vetorial é:
A times B = i & j & k Ax & Ay & Az Bx & By & Bz
Aplicando isso para V2 e V3:
V2 times V3 = i & j & k 3 & -2 & 8 4 & 4 & 4
Calculando o determinante:
V2 times V3 = i cdot (-2 cdot 4 - 8 cdot 4) - j cdot (3 cdot 4 - 8 cdot 4) + k cdot (3 cdot 4 - (-2) cdot 4)
= i cdot (-8 - 32) - j cdot (12 - 32) + k cdot (12 + 8)
= i cdot (-40) - j cdot (-20) + k cdot 20
= -40i + 20j + 20k

Passo 3

Agora que temos V2 times V3 = -40i + 20j + 20k, vamos calcular o produto escalar com V1:
V1 cdot (V2 times V3) = (-1)cdot(-40) + 3cdot20 + 4cdot20
= 40 + 60 + 80
= 180

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial V1 times V2. Usando a mesma fórmula do determinante:
V1 times V2 = i & j & k -1 & 3 & 4 3 & -2 & 8
Calculando o determinante:
V1 times V2 = i cdot (3 cdot 8 - 4 cdot (-2)) - j cdot (-1 cdot 8 - 4 cdot 3) + k cdot (-1 cdot (-2) - 3 cdot 3)
= i cdot (24 + 8) - j cdot (-8 - 12) + k cdot (2 - 9)
= 32i + 20j -7k

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar desse resultado com V3:
(V1 times V2) cdot V3 = 32cdot4 + 20cdot4 + (-7)cdot4
= 128 + 80 - 28
= 180

Resposta

Ambas as expressões V1 cdot (V2 times V3) e (V1 times V2) cdot V3 resultam em 180, ou seja, não são diferentes.
Além disso, essa igualdade é válida para quaisquer três vetores, ou seja:
A cdot (B times C) = (A times B) cdot C
Isso porque tanto o produto escalar quanto o vetorial seguem propriedades que garantem essa igualdade, conhecida como a propriedade cíclica do determinante.

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