Dados os vetores e , calccule e . São diferentes? Mostre que este resultado é válido para quaisquer três vetores.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos três vetores:
A gente precisa calcular duas coisas:
O produto escalar de com o produto vetorial de e , ou seja, .
O produto escalar do produto vetorial de e com , ou seja, .
Queremos ver se esses resultados são diferentes e provar que isso é válido para qualquer três vetores. Para isso, vamos usar as operações de produto escalar e vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial entre dois vetores resulta em outro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para o produto vetorial é:
Aplicando isso para e :
Calculando o determinante:
Passo 3
Agora que temos , vamos calcular o produto escalar com :
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial . Usando a mesma fórmula do determinante:
Calculando o determinante:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar desse resultado com :
Resposta
Ambas as expressões e resultam em 180, ou seja, não são diferentes.
Além disso, essa igualdade é válida para quaisquer três vetores, ou seja:
Isso porque tanto o produto escalar quanto o vetorial seguem propriedades que garantem essa igualdade, conhecida como a propriedade cíclica do determinante.