Dados os vetores e , calccule e . São diferentes? Mostre que este resultado é válido para quaisquer três vetores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos três vetores:
A gente precisa calcular duas coisas:
  1. O produto escalar de com o produto vetorial de e , ou seja, .
  2. O produto escalar do produto vetorial de e com , ou seja, .
Queremos ver se esses resultados são diferentes e provar que isso é válido para qualquer três vetores. Para isso, vamos usar as operações de produto escalar e vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial entre dois vetores resulta em outro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para o produto vetorial é:
Aplicando isso para e :
Calculando o determinante:

Passo 3

Agora que temos , vamos calcular o produto escalar com :

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial . Usando a mesma fórmula do determinante:
Calculando o determinante:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar desse resultado com :

Resposta

Ambas as expressões e resultam em 180, ou seja, não são diferentes.
Além disso, essa igualdade é válida para quaisquer três vetores, ou seja:
Isso porque tanto o produto escalar quanto o vetorial seguem propriedades que garantem essa igualdade, conhecida como a propriedade cíclica do determinante.

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