Mostre que se
, então
, onde
é o ângulo entre os vetores. Mostre que se
, então
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de vetores onde temos que mostrar duas coisas:
- Se
, então a magnitude de é , onde é o ângulo entre e . - Se
, então .
Para resolver isso, vamos precisar conhecer como somar vetores e como calcular a magnitude (ou tamanho) de um vetor.
Passo 2
Primeiro, lembremos que a magnitude de um vetor
é dada por
. Quando somamos dois vetores
e
, a magnitude resultante pode ser encontrada usando a regra do paralelogramo ou a lei dos cossenos.
Passo 3
Vamos usar a lei dos cossenos para encontrar a magnitude de
. A lei dos cossenos em um triângulo com lados
,
e
e ângulo
entre
e
diz que:
Mas como
, podemos simplificar para:
Passo 4
Agora, para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Isso confirma a primeira parte que queríamos mostrar.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte: mostrar que se
, então
.
Substituindo
por
na equação que encontramos:
Passo 6
Fatorando
dentro da raiz, temos:
Usamos a identidade trigonométrica
:
Resposta
Portanto, mostramos que:
-
- Se
, então .