Mostre que se , então , onde é o ângulo entre os vetores. Mostre que se , então .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de vetores onde temos que mostrar duas coisas:
  1. Se , então a magnitude de é , onde é o ângulo entre e .
  2. Se , então .
Para resolver isso, vamos precisar conhecer como somar vetores e como calcular a magnitude (ou tamanho) de um vetor.

Passo 2

Primeiro, lembremos que a magnitude de um vetor é dada por . Quando somamos dois vetores e , a magnitude resultante pode ser encontrada usando a regra do paralelogramo ou a lei dos cossenos.

Passo 3

Vamos usar a lei dos cossenos para encontrar a magnitude de . A lei dos cossenos em um triângulo com lados , e e ângulo entre e diz que:
Mas como , podemos simplificar para:

Passo 4

Agora, para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Isso confirma a primeira parte que queríamos mostrar.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte: mostrar que se , então .
Substituindo por na equação que encontramos:

Passo 6

Fatorando dentro da raiz, temos:
Usamos a identidade trigonométrica :

Resposta

Portanto, mostramos que:
  1. Se , então .

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Com uma amostra de solo argiloso, com areia fina, a ser usada num aterro, foi feito um Ensaio Normal de Compactação (Ensaio de Proctor). Na tabela abaixo estão os pesos dos cerpos de prova, determinados nas cinco moldagens de corpo de prova, no cilindro que tinha e pesa 50 g , Estão, também, indicadas as umidades correspondentes a cada moldagem, obtidas por meio de amostra pesadas antes e após a secagem em estufa. O peso especifico dos grãos é de . (a) Determinar o peso especifico máximo e a umidade ótima; e
Ensaio No. 1 2 3 4 5
Peso do corpo de prova(kg) 1,748 1,817 1,874 1,896 1,874
Umidade de compactaçav (%) 17,73 19,79 21,59 23,63 25,75
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