Mostre que se C=A+B, então C=raizA^2+B^2+2 A B cos theta, onde theta é o ângulo entre os vetores. Mostre que se A=B, então C=2 A cos theta / 2.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de vetores onde temos que mostrar duas coisas:
  1. Se , então a magnitude de é , onde é o ângulo entre e .
  2. Se , então .
Para resolver isso, vamos precisar conhecer como somar vetores e como calcular a magnitude (ou tamanho) de um vetor.

Passo 2

Primeiro, lembremos que a magnitude de um vetor é dada por . Quando somamos dois vetores e , a magnitude resultante pode ser encontrada usando a regra do paralelogramo ou a lei dos cossenos.

Passo 3

Vamos usar a lei dos cossenos para encontrar a magnitude de C^2 = A^2 + B^2 - 2AB cos(180^circ - theta) . A lei dos cossenos em um triângulo com lados C^2 = A^2 + B^2 + 2AB cos theta , e e ângulo entre e diz que:
Mas como , podemos simplificar para:

Passo 4

Agora, para encontrar C = raizA^2 + B^2 + 2AB cos theta , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Isso confirma a primeira parte que queríamos mostrar.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte: mostrar que se C = raizA^2 + A^2 + 2A cdot A cos theta = raiz2A^2 + 2A^2 cos theta , então .
Substituindo por na equação que encontramos:

Passo 6

Fatorando C = raiz2A^2(1 + cos theta) = A raiz2(1 + cos theta) dentro da raiz, temos:
C = A raiz2 cdot 2 cos^2 theta2 = A raiz4 cos^2 theta2 = 2A cos theta2
Usamos a identidade trigonométrica :

Resposta

Portanto, mostramos que:
  1. Se , então .

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