Seja T: R^5 R^4 dada por
T(x, y, z, w, t)=(x-y+2 w+3 t, y+z+3 w-t, x+y+2 z+8 w, 2 y+2 z+6 w-4 t)
O POSTO de T (dimensão da imagem de T ) e a NULIDADE de T (dimensão do núcleo de T) são respectivamente:
(A) 0 e 0
(B) 0 e 5
© 0 e 4
(D) 1 e 1
(E) 1 e 4
(F) 1 e 3
(G) 2 e 2
(H) 2 e 3
(I) 3 e 3
(J) 3 e 2
(K) 3 e 1
(L) 4 e 4
(M) 4 e 1
(N) 4 e 0
(O) 5 e 5
§ 5 e 0
(Q) Nenhuma das demais opções.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala de uma transformação linear que vai de para . Nosso objetivo é descobrir o posto de (que é basicamente o tamanho da imagem de ) e a nulidade de (que é o tamanho do núcleo de ). Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de álgebra linear, como matrizes e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação A = 1 & -1 & 0 & 2 & 3 0 & 1 & 1 & 3 & -1 1 & 1 & 2 & 8 & 0 0 & 2 & 2 & 6 & -4 por uma matriz. Cada componente da transformação corresponde a uma linha da matriz. Assim, temos:

Passo 3

Agora, para encontrar o posto de , que é o número de linhas independentes na matriz , vamos colocar essa matriz em forma escalonada por linhas usando operações elementares. Isso ajuda a identificar quantas linhas são realmente independentes.

Passo 4

Aplicando as operações, a matriz 1 & -1 & 0 & 2 & 3 0 & 1 & 1 & 3 & -1 0 & 2 & 2 & 6 & -3 0 & 2 & 2 & 6 & -4 se simplifica para:

Passo 5

Continuando a simplificação, subtraímos o dobro da segunda linha da terceira e quarta linhas:
1 & -1 & 0 & 2 & 3 0 & 1 & 1 & 3 & -1 0 & 0 & 0 & 0 & -1 0 & 0 & 0 & 0 & -2

Passo 6

Agora, podemos ver que temos 3 linhas não nulas após a simplificação, o que significa que o posto de é 3.

Passo 7

Para encontrar a nulidade de dimensão do domínio = posto + nulidade , usamos a relação fundamental da álgebra linear:
5 = 3 + nulidade implies nulidade = 2 ãí
Aqui, a dimensão do domínio é 5 (já que vai de ), então:

Resposta

O posto de é 3 e a nulidade de é 2. Portanto, a resposta correta é a opção (J) 3 e 2.

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