Determine o(s) valor(es) de de modo que:
(b) O conjunto seja uma base de .
Passo 1
Vamos lá! O problema pede para encontrarmos os valores de em que fazem com que o conjunto de vetores seja uma base de . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre bases e independência linear. Para resolver, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes usando determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz, colocando cada vetor como uma coluna:
Passo 3
Agora, para que os vetores sejam uma base, a matriz precisa ter determinante diferente de zero. Vamos calcular o determinante de .
Passo 4
Calculando o determinante de det(A) = 1 cdot 1 & 1 k & k^2 - 1 cdot 0 & 1 k & k^2 + 1 cdot 0 & 1 k & k :
1 & 1 k & k^2 = 1 cdot k^2 - 1 cdot k = k^2 - k
Vamos resolver cada menor:
0 & 1 k & k^2 = 0 cdot k^2 - 1 cdot k = -k
0 & 1 k & k = 0 cdot k - 1 cdot k = -k
Passo 5
Substituindo de volta no determinante:
det(A) = 1 cdot (k^2 - k) - 1 cdot (-k) + 1 cdot (-k) = k^2 - k + k - k = k^2 - k
Passo 6
Para que a matriz det(A) neq 0 Rightarrow k^2 - k neq 0 seja invertível (ou seja, para que os vetores sejam uma base), precisamos que:
Passo 7
Resolvendo a inequação:
k^2 - k neq 0 k(k - 1) neq 0
Isso significa que e .
Resposta
Os valores de que fazem o conjunto ser uma base de são todos os reais exceto e .