Determine o(s) valor(es) de k in R de modo que:
(b) O conjunto (1,0, k),(1,1, k),(1,1, k^2) seja uma base de R^3.

Passo 1

Vamos lá! O problema pede para encontrarmos os valores de em que fazem com que o conjunto de vetores seja uma base de . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre bases e independência linear. Para resolver, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes usando determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz, colocando cada vetor como uma coluna:
A = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 k & k & k^2

Passo 3

Agora, para que os vetores sejam uma base, a matriz precisa ter determinante diferente de zero. Vamos calcular o determinante de .

Passo 4

Calculando o determinante de det(A) = 1 cdot 1 & 1 k & k^2 - 1 cdot 0 & 1 k & k^2 + 1 cdot 0 & 1 k & k :
1 & 1 k & k^2 = 1 cdot k^2 - 1 cdot k = k^2 - k
Vamos resolver cada menor:
0 & 1 k & k^2 = 0 cdot k^2 - 1 cdot k = -k
0 & 1 k & k = 0 cdot k - 1 cdot k = -k

Passo 5

Substituindo de volta no determinante:
det(A) = 1 cdot (k^2 - k) - 1 cdot (-k) + 1 cdot (-k) = k^2 - k + k - k = k^2 - k

Passo 6

Para que a matriz det(A) neq 0 Rightarrow k^2 - k neq 0 seja invertível (ou seja, para que os vetores sejam uma base), precisamos que:

Passo 7

Resolvendo a inequação:
k^2 - k neq 0 k(k - 1) neq 0
Isso significa que e .

Resposta

Os valores de que fazem o conjunto ser uma base de são todos os reais exceto e .

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