Dados os vetores v1=(1,-5,4), v2=(-3,2,1) e v3=(-3,-11,14)
Determine uma base de [v1, v2, v3] e dimensão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores no espaço tridimensional: , e . Nosso objetivo é encontrar uma base para o conjunto desses vetores, ou seja, um conjunto de vetores que seja independente e que consiga gerar todos os vetores originais. Além disso, precisamos descobrir a dimensão desse conjunto. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como independência linear e escalonamento de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma matriz com os vetores A = 1 & -3 & -3 -5 & 2 & -11 4 & 1 & 14 como colunas:
Agora, vamos reduzir essa matriz para a forma escalonada por linhas usando operações elementares. Isso vai nos ajudar a identificar se os vetores são linearmente independentes ou não.

Passo 3

Vamos começar pela primeira coluna. O pivô é o 1 na posição (1,1). Agora, vamos eliminar os elementos abaixo desse pivô:
  • Para a segunda linha: 1 & -3 & -3 0 & -13 & -26 0 & 13 & 26
  • Para a terceira linha:
Fazendo as operações:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda coluna. O pivô é -13 na posição (2,2). Vamos eliminar o elemento abaixo desse pivô na terceira linha:
  • Para a terceira linha: 1 & -3 & -3 0 & -13 & -26 0 & 0 & 0
Fazendo a operação:

Passo 5

Observamos que a terceira linha ficou toda zerada. Isso significa que os três vetores não são linearmente independentes, pois um deles pode ser escrito como combinação dos outros dois. Portanto, a base desse conjunto não precisa incluir os três vetores, apenas os dois que são independentes.

Passo 6

Para encontrar a base, vamos pegar os vetores correspondentes às colunas que possuem os pivôs. No caso, os primeiros dois vetores e formam a base, pois são os que correspondem aos pivôs nas colunas 1 e 2.

Resposta

Uma base para é formada pelos vetores e . A dimensão do espaço gerado por esses vetores é 2.

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