Verifique se os subconjuntos a seguir são subespaços vetoriais. Se sim, mostre que são validas as condições de S.V . Caso não, exiba um contra-exemplo.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto e precisamos verificar se esse conjunto é um subespaço vetorial. Para isso, vamos usar os conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais e verificar algumas condições importantes.
Passo 2
Primeiro, o que é um subespaço vetorial? Um subespaço vetorial é um conjunto de vetores que, além de conter o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar. Ou seja, para ser um subespaço, ele precisa satisfazer três condições:
Conter o vetor zero: O vetor deve estar em .
Fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .
Passo 3
1. Verificando se o vetor zero está em :
Vamos substituir , e na equação :
Como a igualdade é verdadeira, o vetor zero está em .
Passo 4
2. Verificando se é fechado sob adição:
Suponha que temos dois vetores e em . Isso significa que:
Vamos somar esses dois vetores:
Substituindo as expressões de e :
Então, a componente do vetor soma é:
Isso satisfaz a condição para o vetor , o que significa que também está em . Logo, é fechado sob adição.
Passo 5
3. Verificando se é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos tomar um vetor em e um escalar . Sabemos que para estar em :
Multiplicando o vetor por :
Substituindo na condição de :
Fatorando :
Como , a igualdade acima é verdadeira:
Portanto, também está em , mostrando que é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, o conjunto é um subespaço vetorial, pois satisfaz todas as condições necessárias: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar.