Verifique se os subconjuntos a seguir são subespaços vetoriais. Se sim, mostre que são validas as condições de S.V . Caso não, exiba um contra-exemplo.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto
e precisamos verificar se esse conjunto é um subespaço vetorial. Para isso, vamos usar os conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais e verificar algumas condições importantes.
Passo 2
Primeiro, o que é um subespaço vetorial? Um subespaço vetorial é um conjunto de vetores que, além de conter o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar. Ou seja, para
ser um subespaço, ele precisa satisfazer três condições:
- Conter o vetor zero: O vetor
deve estar em . - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificando se o vetor zero está em
:
Vamos substituir
,
e
na equação
:
Como a igualdade é verdadeira, o vetor zero está em
.
Passo 4
2. Verificando se
é fechado sob adição:
Suponha que temos dois vetores
e
em
. Isso significa que:
Vamos somar esses dois vetores:
Substituindo as expressões de
e
:
Então, a componente
do vetor soma é:
Isso satisfaz a condição
para o vetor
, o que significa que
também está em
. Logo,
é fechado sob adição.
Passo 5
3. Verificando se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos tomar um vetor
em
e um escalar
. Sabemos que para
estar em
:
Multiplicando o vetor por
:
Substituindo na condição de
:
Fatorando
:
Como
, a igualdade acima é verdadeira:
Portanto,
também está em
, mostrando que
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço vetorial, pois satisfaz todas as condições necessárias: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar.