Verifique se os subconjuntos a seguir são subespaços vetoriais. Se sim, mostre que são validas as condições de S.V . Caso não, exiba um contra-exemplo. F=(x, y, z) in R^3 mid y=2 x+z

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto e precisamos verificar se esse conjunto é um subespaço vetorial. Para isso, vamos usar os conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais e verificar algumas condições importantes.

Passo 2

Primeiro, o que é um subespaço vetorial? Um subespaço vetorial é um conjunto de vetores que, além de conter o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar. Ou seja, para ser um subespaço, ele precisa satisfazer três condições:
  1. Conter o vetor zero: O vetor deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando se o vetor zero está em 0 = 2(0) + 0 implies 0 = 0 :
Vamos substituir , e na equação :
Como a igualdade é verdadeira, o vetor zero está em .

Passo 4

2. Verificando se y1 = 2x1 + z1 e y2 = 2x2 + z2 é fechado sob adição:
Suponha que temos dois vetores u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) e y1 + y2 = (2x1 + z1) + (2x2 + z2) = 2(x1 + x2) + (z1 + z2) em y = 2(x1 + x2) + (z1 + z2) . Isso significa que:
Vamos somar esses dois vetores:
Substituindo as expressões de e :
Então, a componente do vetor soma é:
Isso satisfaz a condição para o vetor , o que significa que também está em . Logo, é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificando se y = 2x + z é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos tomar um vetor cu = (cx, cy, cz) em cy = 2(cx) + cz implies cy = 2cx + cz e um escalar cy = c(2x + z) . Sabemos que para c(2x + z) = 2cx + cz estar em :
Multiplicando o vetor por :
Substituindo na condição de :
Fatorando :
Como , a igualdade acima é verdadeira:
Portanto, também está em , mostrando que é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço vetorial, pois satisfaz todas as condições necessárias: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar.

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