Dados os vetores v1=(1,-5,4), v2=(-3,2,1) e v3=(-3,-11,14)
Determine [v1, v2, v3].

Passo 1

Vamos lá! Temos três vetores no espaço tridimensional: , e . Precisamos determinar o valor de . Esse cálculo envolve o conceito de produto misto ou determinante de uma matriz formada por esses vetores. Para resolver, vamos montar uma matriz com esses vetores e calcular seu determinante.

Passo 2

Primeiro, montamos a matriz usando os vetores 1 & -3 & -3 -5 & 2 & -11 4 & 1 & 14 , e como colunas:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Para uma matriz , o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Vamos utilizar a regra de Sarrus para facilitar.

Passo 4

Aplicando a regra de Sarrus, repetimos as duas primeiras colunas à direita da matriz:
ccc|cc 1 & -3 & -3 & 1 & -3 -5 & 2 & -11 & -5 & 2 4 & 1 & 14 & 4 & 1

Passo 5

Agora, multiplicamos as diagonais que vão da esquerda para a direita e somamos esses produtos:
(1 times 2 times 14) + (-3 times -11 times 4) + (-3 times -5 times 1)
Calculando cada termo:
1 times 2 times 14 = 28
-3 times -11 times 4 = 132
-3 times -5 times 1 = 15
Somando esses valores:
28 + 132 + 15 = 175

Passo 6

Em seguida, multiplicamos as diagonais que vão da direita para a esquerda e somamos esses produtos:
(-3 times 2 times 4) + (-3 times -11 times 1) + (1 times -5 times 14)
Calculando cada termo:
-3 times 2 times 4 = -24
-3 times -11 times 1 = 33
1 times -5 times 14 = -70
Somando esses valores:
-24 + 33 - 70 = -61

Passo 7

Finalmente, subtraímos a soma das diagonais da direita para a esquerda da soma das diagonais da esquerda para a direita:
175 - (-61) = 175 + 61 = 236

Resposta

O valor de é .

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