Dados os vetores e
Determine .

Passo 1

Vamos lá! Temos três vetores no espaço tridimensional: , e . Precisamos determinar o valor de . Esse cálculo envolve o conceito de produto misto ou determinante de uma matriz formada por esses vetores. Para resolver, vamos montar uma matriz com esses vetores e calcular seu determinante.

Passo 2

Primeiro, montamos a matriz usando os vetores , e como colunas:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Para uma matriz , o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Vamos utilizar a regra de Sarrus para facilitar.

Passo 4

Aplicando a regra de Sarrus, repetimos as duas primeiras colunas à direita da matriz:

Passo 5

Agora, multiplicamos as diagonais que vão da esquerda para a direita e somamos esses produtos:
Calculando cada termo:
Somando esses valores:

Passo 6

Em seguida, multiplicamos as diagonais que vão da direita para a esquerda e somamos esses produtos:
Calculando cada termo:
Somando esses valores:

Passo 7

Finalmente, subtraímos a soma das diagonais da direita para a esquerda da soma das diagonais da esquerda para a direita:

Resposta

O valor de é .

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