Verifique se os subconjuntos a seguir são subespaços vetoriais. Se sim, mostre que são validas as condições de S.V . Caso não, exiba um contra-exemplo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para verificarmos se o conjunto é um subespaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele deve satisfazer.
Conteúdo da Matéria: Subespaços vetoriais.
O que vamos precisar: Conhecer as três condições fundamentais que um subconjunto precisa cumprir para ser considerado um subespaço vetorial:
Contém o vetor zero: O vetor zero deve pertencer ao conjunto.
Fechado sob adição: A soma de quaisquer dois vetores no conjunto também deve estar no conjunto.
Fechado sob multiplicação por escalar: Multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número real (escalar) deve resultar em um vetor que ainda está no conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero pertence ao conjunto .
O vetor zero em é .
Substituindo na condição :
Então, quando , e o vetor zero satisfaz a condição . Portanto, o vetor zero está em .
Passo 3
Agora, precisamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que se tivermos dois vetores quaisquer em , a soma desses vetores também deve estar em .
Vamos pegar dois vetores quaisquer em :
Com e .
Somando esses vetores:
Para que esteja em , precisamos que:
Substituindo e :
Simplificando:
Isso nos diz que , o que só é verdadeiro se ou . Ou seja, a soma de dois vetores quaisquer em só estará em se pelo menos um dos componentes for zero.
Passo 4
Por fim, vamos verificar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se tivermos um vetor em e multiplicarmos por um escalar qualquer, o resultado também deve estar em .
Vamos pegar um vetor qualquer em :
Com .
Multiplicando por um escalar :
Para que esteja em , precisamos que:
Simplificando:
Isso implica que ou . Ou seja, a multiplicação por escalar só preserva o conjunto se o escalar for zero ou se o componente do vetor for zero.
Resposta
Como as condições de fechamento sob adição e multiplicação por escalar não são satisfeitas para todos os vetores em , o conjunto não é um subespaço vetorial de . Um contra-exemplo claro é a soma de dois vetores em onde e , resultando em , que não necessariamente é igual a .