Verifique se os subconjuntos a seguir são subespaços vetoriais. Se sim, mostre que são validas as condições de S.V . Caso não, exiba um contra-exemplo. F=(x, y, z, w) in R^4 mid z=x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para verificarmos se o conjunto é um subespaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele deve satisfazer.
Conteúdo da Matéria: Subespaços vetoriais.
O que vamos precisar: Conhecer as três condições fundamentais que um subconjunto precisa cumprir para ser considerado um subespaço vetorial:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero deve pertencer ao conjunto.
  2. Fechado sob adição: A soma de quaisquer dois vetores no conjunto também deve estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número real (escalar) deve resultar em um vetor que ainda está no conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero pertence ao conjunto z = 0 .
O vetor zero em x^2 = 0 Rightarrow x = 0 é .
Substituindo na condição :
Então, quando , e o vetor zero satisfaz a condição . Portanto, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se o conjunto u = (x1, y1, z1, w1) é fechado sob adição. Isso significa que se tivermos dois vetores quaisquer em v = (x2, y2, z2, w2) , a soma desses vetores também deve estar em u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2, w1 + w2) .
Vamos pegar dois vetores quaisquer em z1 + z2 = (x1 + x2)^2 :
x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2
x1^2 + x2^2 = x1^2 + 2x1x2 + x2^2
Com 0 = 2x1x2 e .
Somando esses vetores:
Para que esteja em , precisamos que:
Substituindo e :
Simplificando:
Isso nos diz que , o que só é verdadeiro se ou . Ou seja, a soma de dois vetores quaisquer em só estará em se pelo menos um dos componentes for zero.

Passo 4

Por fim, vamos verificar se o conjunto u = (x, y, z, w) é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se tivermos um vetor em ku = (kx, ky, kz, kw) e multiplicarmos por um escalar qualquer, o resultado também deve estar em kz = (kx)^2 .
Vamos pegar um vetor qualquer em kx^2 = k^2x^2 :
kx^2 = k^2x^2
Com kx^2 - k^2x^2 = 0 .
Multiplicando por um escalar kx^2(1 - k) = 0 :
Para que esteja em , precisamos que:
Simplificando:
Isso implica que ou . Ou seja, a multiplicação por escalar só preserva o conjunto se o escalar for zero ou se o componente do vetor for zero.

Resposta

Como as condições de fechamento sob adição e multiplicação por escalar não são satisfeitas para todos os vetores em , o conjunto não é um subespaço vetorial de . Um contra-exemplo claro é a soma de dois vetores em onde e , resultando em , que não necessariamente é igual a .

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