Verifique se os subconjuntos a seguir são subespaços vetoriais. Se sim, mostre que são validas as condições de S.V . Caso não, exiba um contra-exemplo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para verificarmos se o conjunto
é um subespaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele deve satisfazer.
Conteúdo da Matéria: Subespaços vetoriais.
O que vamos precisar: Conhecer as três condições fundamentais que um subconjunto precisa cumprir para ser considerado um subespaço vetorial:
- Contém o vetor zero: O vetor zero deve pertencer ao conjunto.
- Fechado sob adição: A soma de quaisquer dois vetores no conjunto também deve estar no conjunto.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número real (escalar) deve resultar em um vetor que ainda está no conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero pertence ao conjunto
.
O vetor zero em
é
.
Substituindo na condição
:
Então,
quando
, e o vetor zero satisfaz a condição
. Portanto, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se o conjunto
é fechado sob adição. Isso significa que se tivermos dois vetores quaisquer em
, a soma desses vetores também deve estar em
.
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
:
Com
e
.
Somando esses vetores:
Para que
esteja em
, precisamos que:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Isso nos diz que
, o que só é verdadeiro se
ou
. Ou seja, a soma de dois vetores quaisquer em
só estará em
se pelo menos um dos componentes
for zero.
Passo 4
Por fim, vamos verificar se o conjunto
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se tivermos um vetor em
e multiplicarmos por um escalar qualquer, o resultado também deve estar em
.
Vamos pegar um vetor qualquer em
:
Com
.
Multiplicando por um escalar
:
Para que
esteja em
, precisamos que:
Simplificando:
Isso implica que
ou
. Ou seja, a multiplicação por escalar só preserva o conjunto
se o escalar for zero ou se o componente
do vetor for zero.
Resposta
Como as condições de fechamento sob adição e multiplicação por escalar não são satisfeitas para todos os vetores em
, o conjunto
não é um subespaço vetorial de
. Um contra-exemplo claro é a soma de dois vetores em
onde
e
, resultando em
, que não necessariamente é igual a
.