Os vetores u u e v formam um ângulo de 60^circ. Sabe-se que ||u||=8 e ||v||=5, calcule:
d) ||4 u-5 v||
RESP: d) raiz849

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, u e v, que formam um ângulo de 60 graus entre eles. As magnitudes desses vetores são ||u|| = 8 e ||v|| = 5. O que queremos encontrar é a magnitude do vetor resultante de 4u - 5v, ou seja, ||4u - 5v||. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da magnitude de uma combinação linear de vetores e o conceito de produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a magnitude de um vetor w = au + bv pode ser calculada usando a fórmula:
||w|| = raiza^2 ||u||^2 + b^2 ||v||^2 + 2ab , ||u|| , ||v|| cos(theta)
Onde:
  • a e b são os coeficientes das combinações lineares dos vetores u e v.
  • ||u|| e ||v|| são as magnitudes dos vetores u e v.
  • θ é o ângulo entre u e v.
Nesse caso, a = 4, b = -5, ||u|| = 8, ||v|| = 5 e θ = 60°.

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores na fórmula:
||4u - 5v|| = raiz4^2 times 8^2 + (-5)^2 times 5^2 + 2 times 4 times (-5) times 8 times 5 times cos(60°)
Vamos calcular cada parte passo a passo.

Passo 4

Primeiro, calculemos os quadrados dos coeficientes multiplicados pelas magnitudes dos vetores:

Passo 5

Agora, vamos calcular a parte do produto escalar:
2 times 4 times (-5) times 8 times 5 times cos(60°)
Sabemos que 2 times 4 times (-5) times 8 times 5 times 0,5 = 2 times 4 times (-5) times 8 times 5 times 0,5 . Então:
Vamos simplificar passo a passo:

Passo 6

Agora, somamos todas as partes calculadas:
1024 + 625 + (-800) = 1024 + 625 - 800 = 1649 - 800 = 849

Passo 7

Por fim, tiramos a raiz quadrada desse resultado para encontrar a magnitude do vetor:
||4u - 5v|| = raiz849

Resposta

d) raiz849

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