Os vetores u u e
formam um ângulo de
. Sabe-se que
e
, calcule:
d)
RESP: d)
d)
RESP: d)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, u e v, que formam um ângulo de 60 graus entre eles. As magnitudes desses vetores são ||u|| = 8 e ||v|| = 5. O que queremos encontrar é a magnitude do vetor resultante de 4u - 5v, ou seja, ||4u - 5v||. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da magnitude de uma combinação linear de vetores e o conceito de produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a magnitude de um vetor w = au + bv pode ser calculada usando a fórmula:
Onde:
- a e b são os coeficientes das combinações lineares dos vetores u e v.
- ||u|| e ||v|| são as magnitudes dos vetores u e v.
- θ é o ângulo entre u e v.
Nesse caso, a = 4, b = -5, ||u|| = 8, ||v|| = 5 e θ = 60°.
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores na fórmula:
Vamos calcular cada parte passo a passo.
Passo 4
Primeiro, calculemos os quadrados dos coeficientes multiplicados pelas magnitudes dos vetores:
Passo 5
Agora, vamos calcular a parte do produto escalar:
Sabemos que
. Então:
Vamos simplificar passo a passo:
Passo 6
Agora, somamos todas as partes calculadas:
Passo 7
Por fim, tiramos a raiz quadrada desse resultado para encontrar a magnitude do vetor:
Resposta
d)