Determine a área do triângulo A B D, obtido pela projeção do vetor B A sobre o vetor B C, onde A(5,1,3), B(-3,9,3) e C(1,1,2).
RESP: A=128 raiz29 ua

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a área do triângulo . Aqui, estamos trabalhando com Geometria Analítica e Vetores. Para isso, vamos precisar entender como projetar um vetor sobre outro e calcular a área de um triângulo no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores envolvidos. Temos os pontos , e . Queremos projetar o vetor sobre o vetor .

Passo 3

Vamos encontrar o vetor BA = A - B = (5 - (-3), 1 - 9, 3 - 3) = (8, -8, 0) :

Passo 4

Agora, encontramos o vetor BC = C - B = (1 - (-3), 1 - 9, 2 - 3) = (4, -8, -1) :

Passo 5

A projeção de ProjBC BA = ( BA cdot BC|BC|^2 ) BC sobre BA cdot BC = (8)(4) + (-8)(-8) + (0)(-1) = 32 + 64 + 0 = 96 é dada por:
|BC| = raiz4^2 + (-8)^2 + (-1)^2 = raiz16 + 64 + 1 = raiz81 = 9
Primeiro, calculamos o produto escalar ProjBC BA = ( 9681 ) BC = ( 3227 ) (4, -8, -1) = ( 12827, -25627, -3227 ) :
E a magnitude de :
Então:

Passo 6

Agora, para encontrar o ponto D = B + ProjBC BA = ( -3 + 12827, 9 - 25627, 3 - 3227 ) = ( -81 + 12827, 243 - 25627, 81 - 3227 ) = ( 4727, -1327, 4927 ) , que é a projeção de sobre a linha , adicionamos a projeção ao ponto :

Passo 7

Para encontrar a área do triângulo Área = 12 |AB times AD| , usamos a fórmula da área para triângulos definidos por vetores:
AD = D - A = ( 4727 - 5, -1327 - 1, 4927 - 3 ) = ( -8827, -4027, -3227 ) Á
Primeiro, calculamos AB = (8, -8, 0) AD = ( -8827, -4027, -3227 ) AB times AD = i & j & k 8 & -8 & 0 -8827 & -4027 & -3227 = ( (-8)(-3227) - 0(-4027), 0(-8827) - 8(-3227), 8(-4027) - (-8)(-8827) ) = ( 25627, 25627, -64027 - 70427 ) = ( 25627, 25627, -134427 ) :
|AB times AD| = raiz(25627)^2 + (25627)^2 + (-134427)^2 = raiz65536729 + 65536729 + 1806336729 = raiz193536729 = raiz19353627 = 44027
Agora, calculamos o produto vetorial Área = 12 times 44027 = 22027 :
Área = 128 raiz29 ua
A magnitude desse vetor é:
Então, a área é:
Á
Convertendo para a forma pedida:
Á

Resposta

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