Seja
um anel. Mostre que se
para quaisquer
, então
é um anel comutativo.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício sobre aneles, que são estruturas matemáticas com algumas operações como adição e multiplicação. A questão diz que, para qualquer dois elementos
e
do anel
, a expressão
se comporta da maneira que conhecemos do desenvolvimento da expressão algebrica, ou seja,
. A gente precisa usar essa informação para mostrar que o anel
é comutativo, ou seja, que a multiplicação no anel satisfaz
para qualquer
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a definição de um anel. Um anel é um conjunto
equipado com duas operações: adição e multiplicação. Essas operações precisam satisfazer algumas propriedades, como a associatividade da adição e da multiplicação, a existência de um elemento neutro para a adição (chamado de zero), e que a multiplicação distribui sobre a adição.
Neste exercício, a gente tem uma condição especial:
para quaisquer
. Vamos usar isso para explorar as propriedades da multiplicação no anel.
Passo 3
Vamos começar expandindo a expressão
usando a multiplicação no anel:
Aplicando a distributividade da multiplicação sobre a adição, temos:
Então, a expansão é:
Passo 4
De acordo com a condição do exercício, essa expansão também é igual a:
Agora, igualando as duas expressões para
:
Passo 5
Vamos simplificar essa igualdade. Primeiro, podemos subtrair
e
de ambos os lados:
Agora, subtraindo
de ambos os lados:
Passo 6
A igualdade
mostra que, para quaisquer
, a multiplicação é comutativa, ou seja, a ordem dos fatores não altera o produto.
Resposta
Portanto, usando a condição dada, mostramos que
para quaisquer
. Isso significa que o anel
é comutativo.
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©
©
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, qual é a dimensão de
?
Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique.
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Determine a matriz de passagem da base
para a base
:
(d)
(d)