Seja A um anel. Mostre que se (a+b)^2=a^2+2 a b+b^2 para quaisquer a, b in A, então A é um anel comutativo.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício sobre aneles, que são estruturas matemáticas com algumas operações como adição e multiplicação. A questão diz que, para qualquer dois elementos e do anel , a expressão se comporta da maneira que conhecemos do desenvolvimento da expressão algebrica, ou seja, . A gente precisa usar essa informação para mostrar que o anel é comutativo, ou seja, que a multiplicação no anel satisfaz para qualquer .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a definição de um anel. Um anel é um conjunto equipado com duas operações: adição e multiplicação. Essas operações precisam satisfazer algumas propriedades, como a associatividade da adição e da multiplicação, a existência de um elemento neutro para a adição (chamado de zero), e que a multiplicação distribui sobre a adição.
Neste exercício, a gente tem uma condição especial: para quaisquer . Vamos usar isso para explorar as propriedades da multiplicação no anel.

Passo 3

Vamos começar expandindo a expressão (a + b)^2 = (a + b)(a + b) usando a multiplicação no anel:
(a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2
Aplicando a distributividade da multiplicação sobre a adição, temos:
(a + b)^2 = a^2 + ab + ba + b^2
Então, a expansão é:

Passo 4

De acordo com a condição do exercício, essa expansão também é igual a:
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Agora, igualando as duas expressões para a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 :

Passo 5

Vamos simplificar essa igualdade. Primeiro, podemos subtrair ab + ba = 2ab e ba = ab de ambos os lados:
Agora, subtraindo de ambos os lados:

Passo 6

A igualdade mostra que, para quaisquer , a multiplicação é comutativa, ou seja, a ordem dos fatores não altera o produto.

Resposta

Portanto, usando a condição dada, mostramos que para quaisquer . Isso significa que o anel é comutativo.

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