Seja um anel. Mostre que se para quaisquer , então é um anel comutativo.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício sobre aneles, que são estruturas matemáticas com algumas operações como adição e multiplicação. A questão diz que, para qualquer dois elementos e do anel , a expressão se comporta da maneira que conhecemos do desenvolvimento da expressão algebrica, ou seja, . A gente precisa usar essa informação para mostrar que o anel é comutativo, ou seja, que a multiplicação no anel satisfaz para qualquer .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a definição de um anel. Um anel é um conjunto equipado com duas operações: adição e multiplicação. Essas operações precisam satisfazer algumas propriedades, como a associatividade da adição e da multiplicação, a existência de um elemento neutro para a adição (chamado de zero), e que a multiplicação distribui sobre a adição.
Neste exercício, a gente tem uma condição especial: para quaisquer . Vamos usar isso para explorar as propriedades da multiplicação no anel.

Passo 3

Vamos começar expandindo a expressão usando a multiplicação no anel:
Aplicando a distributividade da multiplicação sobre a adição, temos:
Então, a expansão é:

Passo 4

De acordo com a condição do exercício, essa expansão também é igual a:
Agora, igualando as duas expressões para :

Passo 5

Vamos simplificar essa igualdade. Primeiro, podemos subtrair e de ambos os lados:
Agora, subtraindo de ambos os lados:

Passo 6

A igualdade mostra que, para quaisquer , a multiplicação é comutativa, ou seja, a ordem dos fatores não altera o produto.

Resposta

Portanto, usando a condição dada, mostramos que para quaisquer . Isso significa que o anel é comutativo.

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