Dados os vetores que variam com o tempo e . Encontre e |d A / d t|
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores que mudam com o tempo:
A = imath cos omega t + jmath sen omega t
Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada de B = t imath + t^2 jmath + t^3 k em relação ao tempo , ou seja, , e também o módulo dessa derivada, que é . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas de funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que quando temos um vetor que depende do tempo, como d Adt = ddt ( imath cos omega t + jmath sen omega t ) , podemos derivar cada uma das suas componentes separadamente em relação ao tempo. Isso é como derivar funções normais, mas aplicando isso a cada componente do vetor.
Então, vamos derivar cada componente de :
Passo 3
Agora, vamos derivar cada termo individualmente:
Derivada de ddt ( imath cos omega t ) = imath cdot ddt ( cos omega t ) :
imath cdot (-omega sen omega t ) = -omega sen omega t cdot imath
Sabemos que a derivada de ddt ( jmath sen omega t ) = jmath cdot ddt ( sen omega t ) em relação a jmath cdot omega cos omega t = omega cos omega t cdot jmath é . Então:
Derivada de :
A derivada de em relação a é . Portanto:
Passo 4
Juntando as derivadas das componentes, temos:
Podemos fatorar o d Adt = -omega sen omega t cdot imath + omega cos omega t cdot jmath :
Passo 5
Agora, vamos calcular o m��dulo dessa derivada, ou seja, | V | = raizVx^2 + Vy^2 + Vz^2 . Para isso, usamos a fórmula do módulo de um vetor:
Vx = -omega sen omega t
No nosso caso, o vetor derivado tem componentes:
Vy = omega cos omega t
Vz = 0
Então, o módulo fica:
Passo 6
Vamos simplificar dentro da raiz:
(-omega sen omega t)^2 = omega^2 sen^2 omega t
Então:
Fatorando (omega cos omega t)^2 = omega^2 cos^2 omega t :
Passo 7
Sabemos que para qualquer ângulo sen^2 omega t + cos^2 omega t = 1 . Aplicando isso: