Dados os vetores que variam com o tempo e . Encontre e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores que mudam com o tempo:
Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada de em relação ao tempo , ou seja, , e também o módulo dessa derivada, que é . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas de funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que quando temos um vetor que depende do tempo, como , podemos derivar cada uma das suas componentes separadamente em relação ao tempo. Isso é como derivar funções normais, mas aplicando isso a cada componente do vetor.
Então, vamos derivar cada componente de :
Passo 3
Agora, vamos derivar cada termo individualmente:
Derivada de :
Sabemos que a derivada de em relação a é . Então:
Derivada de :
A derivada de em relação a é . Portanto:
Passo 4
Juntando as derivadas das componentes, temos:
Podemos fatorar o :
Passo 5
Agora, vamos calcular o m��dulo dessa derivada, ou seja, . Para isso, usamos a fórmula do módulo de um vetor:
No nosso caso, o vetor derivado tem componentes:
Então, o módulo fica:
Passo 6
Vamos simplificar dentro da raiz:
Então:
Fatorando :
Passo 7
Sabemos que para qualquer ângulo . Aplicando isso: