Dados os vetores que variam com o tempo e . Encontre
e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores que mudam com o tempo:
Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada de em relação ao tempo , ou seja, , e também o módulo dessa derivada, que é . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando temos um vetor que depende do tempo, como , podemos derivar cada uma das suas componentes separadamente em relação ao tempo. Isso é como derivar funções normais, mas aplicando isso a cada componente do vetor.
Então, vamos derivar cada componente de :

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo individualmente:
  1. Derivada de :
    Sabemos que a derivada de em relação a é . Então:
  2. Derivada de :
    A derivada de em relação a é . Portanto:

Passo 4

Juntando as derivadas das componentes, temos:
Podemos fatorar o :

Passo 5

Agora, vamos calcular o m��dulo dessa derivada, ou seja, . Para isso, usamos a fórmula do módulo de um vetor:
No nosso caso, o vetor derivado tem componentes:
Então, o módulo fica:

Passo 6

Vamos simplificar dentro da raiz:
Então:
Fatorando :

Passo 7

Sabemos que para qualquer ângulo . Aplicando isso:
Portanto:

Resposta

Exercícios relacionados

Dados . Encontre
e
Dados . Encontre
Dados os vetores que variam com o tempo e . Encontre
e
Dados . Encontre
e