Dados os vetores que variam com o tempo A=imath cos omega t+jmath sen omega t e B=t imath+t^2 jmath+t^3 k. Encontre
d^2 B / d t^2 e |d^2 B / d t^2|

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos dois vetores que variam com o tempo:
A = imath cos omega t + jmath sen omega t
A pergunta quer que a gente encontre a segunda derivada de B = t imath + t^2 jmath + t^3 k em relação ao tempo , ou seja, , e também o módulo dessa segunda derivada, que é .
Para resolver isso, vamos lembrar que derivar um vetor em relação ao tempo significa derivar cada uma das suas componentes separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de B = t imath + t^2 jmath + t^3 k em relação ao tempo dBdt = ddt(t) imath + ddt(t^2) jmath + ddt(t^3) k :
dBdt = imath + 2t jmath + 3t^2 k
Derivando cada componente:
Isso resulta em:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de d^2Bdt^2 = ddt( dBdt ) = ddt ( imath + 2t jmath + 3t^2 k ) em relação ao tempo d^2Bdt^2 = 0 imath + 2 jmath + 6t k :
d^2Bdt^2 = 2 jmath + 6t k
Derivando cada componente novamente:
Simplificando:

Passo 4

Agora que temos a segunda derivada, vamos calcular o módulo dessa segunda derivada. O módulo de um vetor |V| = raiza^2 + b^2 + c^2 é dado por:
| d^2Bdt^2 | = raiz0^2 + 2^2 + (6t)^2 = raiz0 + 4 + 36t^2 = raiz4 + 36t^2
Aplicando isso à nossa segunda derivada:
raiz4(1 + 9t^2) = 2raiz1 + 9t^2
Podemos simplificar fatorando o 4:

Resposta

A segunda derivada de d^2Bdt^2 = 2 jmath + 6t k em relação ao tempo | d^2Bdt^2 | = 2 raiz1 + 9t^2 é:
E o módulo dessa segunda derivada é:

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