Mostre que o módulo de um vetor não é alterado por uma rotação. Use a matriz
|ccc cos theta & sen theta & 0 -sen theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1 |
para uma rotação de um ângulo theta em torno do eixo z.

Passo 1

Então, a gente precisa provar que o tamanho (ou módulo) de um vetor não muda quando a gente gira ele. Para isso, vamos usar uma matriz de rotação específica, que gira o vetor em torno do eixo z por um ângulo . Vamos precisar entender como essa rotação funciona e como calcular o módulo do vetor antes e depois da rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de rotação. A matriz que a gente tem aqui é:
Essa matriz roda o vetor em torno do eixo z por um ângulo cos theta & sen theta & 0 -sen theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1 . Ou seja, se tivermos um vetor , a rotação desse vetor é dada pela multiplicação dessa matriz por .

Passo 3

Vamos aplicar a matriz de rotação no vetor v' = cos theta & sen theta & 0 -sen theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1 vx vy vz = vx cos theta + vy sen theta -vx sen theta + vy cos theta vz :

$$
\mathbf{v}’ =

$$

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo (ou comprimento) do vetor original |v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2 e do vetor rotacionado |v'| = raiz(vx cos theta + vy sen theta)^2 + (-vx sen theta + vy cos theta)^2 + vz^2 .
O módulo de é:
O módulo de é:

Passo 5

Vamos simplificar o módulo de (vx cos theta + vy sen theta)^2 + (-vx sen theta + vy cos theta)^2 = vx^2 cos^2 theta + 2 vx vy cos theta sen theta + vy^2 sen^2 theta + vx^2 sen^2 theta - 2 vx vy cos theta sen theta + vy^2 cos^2 theta :
Expandindo os termos dentro da raiz:
Observamos que os termos e se cancelam. Ficamos com:
Portanto, o módulo de vx^2 (cos^2 theta + sen^2 theta) + vy^2 (sen^2 theta + cos^2 theta) = vx^2 (1) + vy^2 (1) = vx^2 + vy^2 é:
|v'| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2 = |v|

Resposta

O módulo do vetor não é alterado após a rotação, ou seja, .

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