Mostre que o módulo de um vetor não é alterado por uma rotação. Use a matriz
para uma rotação de um ângulo em torno do eixo .

Passo 1

Então, a gente precisa provar que o tamanho (ou módulo) de um vetor não muda quando a gente gira ele. Para isso, vamos usar uma matriz de rotação específica, que gira o vetor em torno do eixo z por um ângulo . Vamos precisar entender como essa rotação funciona e como calcular o módulo do vetor antes e depois da rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de rotação. A matriz que a gente tem aqui é:
Essa matriz roda o vetor em torno do eixo z por um ângulo . Ou seja, se tivermos um vetor , a rotação desse vetor é dada pela multiplicação dessa matriz por .

Passo 3

Vamos aplicar a matriz de rotação no vetor :

$$
\mathbf{v}’ =

$$

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo (ou comprimento) do vetor original e do vetor rotacionado .
O módulo de é:
O módulo de é:

Passo 5

Vamos simplificar o módulo de :
Expandindo os termos dentro da raiz:
Observamos que os termos e se cancelam. Ficamos com:
Portanto, o módulo de é:

Resposta

O módulo do vetor não é alterado após a rotação, ou seja, .

Exercícios relacionados

Encontre um conjunto de vetores que sejam recíprocos ao conjunto e .
Dados os vetores que variam com o tempo . Encontre
e
Os dois grupos de vetores e são chamados de recíprocos se e qualquer outro produto escalar misturado como . Mostre que:
onde .
Uma partícula se move num círculo de raio . Se a velocidade escalar da partícula varia com o tempo de acordo com a equação para que valor, ou valores de o vetor aceleração forma um ângulo de com o vetor velocidade?