Mostre que o módulo de um vetor não é alterado por uma rotação. Use a matriz
para uma rotação de um ângulo em torno do eixo .
Passo 1
Então, a gente precisa provar que o tamanho (ou módulo) de um vetor não muda quando a gente gira ele. Para isso, vamos usar uma matriz de rotação específica, que gira o vetor em torno do eixo z por um ângulo . Vamos precisar entender como essa rotação funciona e como calcular o módulo do vetor antes e depois da rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de rotação. A matriz que a gente tem aqui é:
Essa matriz roda o vetor em torno do eixo z por um ângulo . Ou seja, se tivermos um vetor , a rotação desse vetor é dada pela multiplicação dessa matriz por .
Passo 3
Vamos aplicar a matriz de rotação no vetor :
$$
\mathbf{v}’ =
$$
Passo 4
Agora, vamos calcular o módulo (ou comprimento) do vetor original e do vetor rotacionado .
O módulo de é:
O módulo de é:
Passo 5
Vamos simplificar o módulo de :
Expandindo os termos dentro da raiz:
Observamos que os termos e se cancelam. Ficamos com:
Portanto, o módulo de é:
Resposta
O módulo do vetor não é alterado após a rotação, ou seja, .