Encontre um conjunto de vetores que sejam recíprocos ao conjunto imath, jmath e imath+jmath+k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar um conjunto de vetores que sejam recíprocos aos vetores , e . Aqui, estamos trabalhando com álgebra vetorial, mais especificamente com o conceito de vetores recíprocos. Para resolver isso, vamos precisar usar o produto escalar e entender como vetores recíprocos se relacionam entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem recíprocos. Vetores recíprocos satisfazem a condição de que o produto escalar entre vetores de conjuntos diferentes seja igual a 1 se forem correspondentes e 0 se não forem. Ou seja, se temos dois conjuntos de vetores ai cdot bj = de e , então:
Onde é a delta de Kronecker, que é 1 quando e 0 caso contrário.

Passo 3

Agora, vamos chamar os vetores recíprocos que queremos encontrar de imath cdot b1 = 1, imath cdot b2 = 0, imath cdot b3 = 0 , jmath cdot b1 = 0, jmath cdot b2 = 1, jmath cdot b3 = 0 e (imath + jmath + k) cdot b1 = 0, (imath + jmath + k) cdot b2 = 0, (imath + jmath + k) cdot b3 = 1 . Esses vetores devem satisfazer:

Passo 4

Vamos resolver essas equações passo a passo. Primeiramente, escrevemos cada vetor bi = xi imath + yi jmath + zi k em termos das componentes:
imath cdot b1 = x1 = 1
Agora, aplicamos as condições de reciprocidade:
Para jmath cdot b1 = y1 = 0 :
(imath + jmath + k) cdot b1 = x1 + y1 + z1 = 1 + 0 + z1 = 0 Rightarrow z1 = -1
imath cdot b2 = x2 = 0
jmath cdot b2 = y2 = 1
Então, (imath + jmath + k) cdot b2 = x2 + y2 + z2 = 0 + 1 + z2 = 0 Rightarrow z2 = -1 .
Para imath cdot b3 = x3 = 0 :
jmath cdot b3 = y3 = 0
(imath + jmath + k) cdot b3 = x3 + y3 + z3 = 0 + 0 + z3 = 1 Rightarrow z3 = 1
Então, .
Para :
Então, .

Resposta

O conjunto de vetores recíprocos é:
b1 = imath - k, b2 = jmath - k, b3 = k

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