Encontre um conjunto de vetores que sejam recíprocos ao conjunto
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar um conjunto de vetores que sejam recíprocos aos vetores
,
e
. Aqui, estamos trabalhando com álgebra vetorial, mais especificamente com o conceito de vetores recíprocos. Para resolver isso, vamos precisar usar o produto escalar e entender como vetores recíprocos se relacionam entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem recíprocos. Vetores recíprocos satisfazem a condição de que o produto escalar entre vetores de conjuntos diferentes seja igual a 1 se forem correspondentes e 0 se não forem. Ou seja, se temos dois conjuntos de vetores
e
, então:
Onde
é a delta de Kronecker, que é 1 quando
e 0 caso contrário.
Passo 3
Agora, vamos chamar os vetores recíprocos que queremos encontrar de
,
e
. Esses vetores devem satisfazer:
Passo 4
Vamos resolver essas equações passo a passo. Primeiramente, escrevemos cada vetor
em termos das componentes:
Agora, aplicamos as condições de reciprocidade:
Para
:
Então,
.
Para
:
Então,
.
Para
:
Então,
.
Resposta
O conjunto de vetores recíprocos é: