Encontre um conjunto de vetores que sejam recíprocos ao conjunto e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar um conjunto de vetores que sejam recíprocos aos vetores , e . Aqui, estamos trabalhando com álgebra vetorial, mais especificamente com o conceito de vetores recíprocos. Para resolver isso, vamos precisar usar o produto escalar e entender como vetores recíprocos se relacionam entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem recíprocos. Vetores recíprocos satisfazem a condição de que o produto escalar entre vetores de conjuntos diferentes seja igual a 1 se forem correspondentes e 0 se não forem. Ou seja, se temos dois conjuntos de vetores e , então:
Onde é a delta de Kronecker, que é 1 quando e 0 caso contrário.

Passo 3

Agora, vamos chamar os vetores recíprocos que queremos encontrar de , e . Esses vetores devem satisfazer:

Passo 4

Vamos resolver essas equações passo a passo. Primeiramente, escrevemos cada vetor em termos das componentes:
Agora, aplicamos as condições de reciprocidade:
Para :
Então, .
Para :
Então, .
Para :
Então, .

Resposta

O conjunto de vetores recíprocos é:

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Dados os vetores que variam com o tempo . Encontre
e
Encontre a matriz transformação para uma rotação de um ângulo em torno do eixo seguida por uma rotação de um ângulo em torno do eixo .
Mostre que o módulo de um vetor não é alterado por uma rotação. Use a matriz
para uma rotação de um ângulo em torno do eixo .
Os dois grupos de vetores e são chamados de recíprocos se e qualquer outro produto escalar misturado como . Mostre que:
onde .