Dados os vetores x, y, z, w in R^3, determine escalares a, b, c in R tais que a x+b y+c z=w.
x=(2,3,-1), y=(1,-4,2),
z=(-3,1,-2), w=(5,-1,2)
(Obs. Os escalares a, b e c podem não existir.)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos quatro vetores no espaço tridimensional R^3: x = (2, 3, -1), y = (1, -4, 2), z = (-3, 1, -2) e w = (5, -1, 2). A ideia é descobrir se existem escalares a, b e c que, quando multiplicados pelos vetores x, y e z, respectivamente, somados, resultam no vetor w. Ou seja, queremos achar a, b, c tais que:
a cdot x + b cdot y + c cdot z = w
Para resolver isso, vamos montar um sistema de equações e resolver para a, b e c.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a equação vetorial em termos das componentes. Isso significa que vamos igualar cada componente de a cdot x + b cdot y + c cdot z à respectiva componente de w. Assim, temos:
2a + 1b - 3c = 5 3a - 4b + 1c = -1 -1a + 2b - 2c = 2
Agora, nosso objetivo é resolver esse sistema de três equações com três incógnitas.

Passo 3

Vamos resolver o sistema usando o método da substituição. Primeiro, vamos resolver uma das equações para uma das variáveis e depois substituir nas outras equações. Vamos pegar a primeira equação e resolver para b:
2a + b - 3c = 5 Rightarrow b = 5 - 2a + 3c
Agora que temos b em termos de a e c, vamos substituir essa expressão nas outras duas equações.

Passo 4

Substituindo b = 5 - 2a + 3c na segunda equação:
3a - 4(5 - 2a + 3c) + c = -1 3a - 20 + 8a - 12c + c = -1 11a - 11c = 19 (Equação 4) çã
Agora, substituímos b = 5 - 2a + 3c na terceira equação:
- a + 2(5 - 2a + 3c) - 2c = 2 - a + 10 - 4a + 6c - 2c = 2 -5a + 4c = -8 (Equação 5) çã

Passo 5

Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas ( a e c):
11a - 11c = 19 (Equação 4) -5a + 4c = -8 (Equação 5) çãçã
Vamos resolver esse sistema. Podemos simplificar a Equação 4 dividindo todos os termos por 11:
a - c = 1911 Rightarrow a = 1911 + c
Agora, substituímos a = 1911 + c na Equação 5:
-5(1911 + c) + 4c = -8 -9511 - 5c + 4c = -8 - 9511 - c = -8 - c = -8 + 9511 - c = -8811 + 9511 - c = 711 Rightarrow c = -711

Passo 6

Agora que temos c = -711, vamos encontrar a usando a relação a = 1911 + c:
a = 1911 + (-711) a = 1211
Em seguida, substituímos a = 1211 e c = -711 na expressão que encontramos para b:
b = 5 - 2a + 3c b = 5 - 2(1211) + 3(-711) b = 5 - 2411 - 2111 b = 5 - 4511 b = 5511 - 4511 b = 1011

Resposta

Os escalares que satisfazem a equação a x + b y + c z = w são:
a = 1211, b = 1011, c = -711

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Determine quais dos seguintes ternas são vetores em W=x in R^3 mid 3 x1-5 x2+4 x3=0.
x=(3,5,4)
Determine quais das seguintes ternas são vetores em U=x in R^3 mid x1+x2+x3=0.
x=(3,-2,-1)
Dados os vetores x, y, z, w in R^3, determine escalares a, b, c in R tais que a x+b y+c z=w.
x=(5,-1,2), y=(2,1,2),
z=(4,-5,3), w=(5,-1,2)
(Obs. Os escalares a, b e c podem não existir.)
r: x2=z-3 ; y=4