Dados os vetores , determine escalares tais que . ,
(Obs. Os escalares e podem não existir.)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos quatro vetores no espaço tridimensional : , , e . A ideia é descobrir se existem escalares , e que, quando multiplicados pelos vetores , e , respectivamente, somados, resultam no vetor . Ou seja, queremos achar , , tais que:
Para resolver isso, vamos montar um sistema de equações e resolver para , e .
Passo 2
Primeiro, vamos expandir a equação vetorial em termos das componentes. Isso significa que vamos igualar cada componente de à respectiva componente de . Assim, temos:
Agora, nosso objetivo é resolver esse sistema de três equações com três incógnitas.
Passo 3
Vamos resolver o sistema usando o método da substituição. Primeiro, vamos resolver uma das equações para uma das variáveis e depois substituir nas outras equações. Vamos pegar a primeira equação e resolver para b:
2a + b - 3c = 5 Rightarrow b = 5 - 2a + 3c
Agora que temos b em termos de a e c, vamos substituir essa expressão nas outras duas equações.