Dados os vetores x, y, z, w in R^3, determine escalares a, b, c in R tais que a x+b y+c z=w.
x=(5,-1,2), y=(2,1,2),
z=(4,-5,3), w=(5,-1,2)
(Obs. Os escalares a, b e c podem não existir.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de álgebra linear, onde precisamos encontrar escalares , e que satisfaçam a equação . Para isso, vamos precisar montar um sistema de equações usando as coordenadas dos vetores e resolver esse sistema para achar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação vetorial componente a componente. Isso significa que igualamos cada coordenada de x = (5, -1, 2), y = (2, 1, 2), z = (4, -5, 3), w = (5, -1, 2) com a correspondente de a cdot 5 + b cdot 2 + c cdot 4 = 5 (1) .
Dado:
a cdot (-1) + b cdot 1 + c cdot (-5) = -1 (2)
Então, temos:
a cdot 2 + b cdot 2 + c cdot 3 = 2 (3)

Passo 3

Agora, vamos escrever esse sistema de equações de forma mais organizada:
5a + 2b + 4c = 5 (1) - a + b - 5c = -1 (2) 2a + 2b + 3c = 2 (3)

Passo 4

Vamos resolver esse sistema usando o método de eliminação de Gauss. Primeiro, podemos simplificar a equação (2) multiplicando todos os termos por -1 para facilitar:
a - b + 5c = 1 (2')
Agora, temos:
5a + 2b + 4c = 5 (1) a - b + 5c = 1 (2') 2a + 2b + 3c = 2 (3)

Passo 5

Vamos usar a equação (2’) para expressar a = 1 + b - 5c (4) em termos de 5(1 + b - 5c) + 2b + 4c = 5 e 5 + 5b - 25c + 2b + 4c = 5 :
7b - 21c = 0 (5)
Agora, substituímos 2(1 + b - 5c) + 2b + 3c = 2 da equação (4) nas equações (1) e (3):
Substituindo na equação (1):
2 + 2b - 10c + 2b + 3c = 2
4b - 7c = 0 (6)
Substituindo na equação (3):

Passo 6

Agora, temos duas equações com duas incógnitas:
7b - 21c = 0 (5) 4b - 7c = 0 (6)
Podemos simplificar a equação (5) dividindo todos os termos por 7:
b - 3c = 0 (5')
Agora, temos:
b - 3c = 0 (5') 4b - 7c = 0 (6)

Passo 7

Vamos resolver a equação (5’) para b = 3c (7) :
4(3c) - 7c = 0
Substituímos 12c - 7c = 0 na equação (6):
5c = 0
c = 0

Passo 8

Com b = 3 cdot 0 = 0 , substituímos de volta na equação (7):
a = 1 + 0 - 5 cdot 0 = 1
E agora, substituímos e na equação (4):

Resposta

Os escalares que satisfazem a equação a = 1, b = 0, c = 0 são:

Exercícios relacionados

Dados os vetores x, y, z, w in R^3, determine escalares a, b, c in R tais que a x+b y+c z=w.
x=(2,3,-1), y=(1,-4,2),
z=(-3,1,-2), w=(5,-1,2)
(Obs. Os escalares a, b e c podem não existir.)
Determine quais dos seguintes ternas são vetores em W=x in R^3 mid 3 x1-5 x2+4 x3=0.
x=(3,5,4)
r: x2=z-3 ; y=4
  1. Seja o plano
pi: 3 x+y-z-4=0
Calcular:
(a) o ponto de pi que tem abscissa 1 e ordenada 3;