Mostre que os seguintes conjuntos formam Z7-espaços vetoriais sob as operaçães usuais.
(b) U=x in Z7^2 mid x1+x2=0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente precisa mostrar que o conjunto é um espaço vetorial sobre o corpo . Basicamente, isso significa que U precisa satisfazer certas propriedades que definem um espaço vetorial, usando as operações usuais de soma de vetores e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um conjunto é considerado um espaço vetorial se:
  1. Ele contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição de vetores.
  3. É fechado sob multiplicação por escalares.
A gente vai verificar essas propriedades uma a uma para o conjunto U.

Passo 3

Vetor Zero:
O vetor zero em 0 + 0 = 0 é . Vamos ver se ele está no conjunto U:
Como isso satisfaz a condição , o vetor zero está em U. Então, a primeira propriedade tá ok.

Passo 4

Fechamento sob Adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em U, vamos chamar de u1 + u2 = 0 e v1 + v2 = 0 . Pela definição de U:
u + v = (u1 + v1, u2 + v2)
(u1 + v1) + (u2 + v2) = (u1 + u2) + (v1 + v2) = 0 + 0 = 0
Agora, somando esses dois vetores:
Precisamos verificar se em :
Então, a soma de dois vetores em U também está em U. Ou seja, U é fechado sob adição.

Passo 5

Fechamento sob Multiplicação por Escalar:
Agora, vamos pegar um vetor (c u1) + (c u2) = c (u1 + u2) em U e um escalar c cdot 0 = 0 em . Precisamos mostrar que também está em U.
Calculando:
Como está em U, , então:
Portanto, , o que significa que está em U. Assim, U é fechado sob multiplicação por escalars.

Resposta

Como o conjunto U contém o vetor zero, é fechado sob adição de vetores e sob multiplicação por escalares em , podemos concluir que é de fato um espaço vetorial sobre .

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