Mostre que os seguintes conjuntos formam
-espaços vetoriais sob as operaçães usuais.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente precisa mostrar que o conjunto
é um espaço vetorial sobre o corpo
. Basicamente, isso significa que U precisa satisfazer certas propriedades que definem um espaço vetorial, usando as operações usuais de soma de vetores e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um conjunto é considerado um espaço vetorial se:
- Ele contém o vetor zero.
- É fechado sob adição de vetores.
- É fechado sob multiplicação por escalares.
A gente vai verificar essas propriedades uma a uma para o conjunto U.
Passo 3
Vetor Zero:
O vetor zero em é
. Vamos ver se ele está no conjunto U:
O vetor zero em
Como isso satisfaz a condição
, o vetor zero está em U. Então, a primeira propriedade tá ok.
Passo 4
Fechamento sob Adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em U, vamos chamar de e
. Pela definição de U:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em U, vamos chamar de
Agora, somando esses dois vetores:
Precisamos verificar se
em
:
Então, a soma de dois vetores em U também está em U. Ou seja, U é fechado sob adição.
Passo 5
Fechamento sob Multiplicação por Escalar:
Agora, vamos pegar um vetor em U e um escalar
em
. Precisamos mostrar que
também está em U.
Agora, vamos pegar um vetor
Calculando:
Como
está em U,
, então:
Portanto,
, o que significa que
está em U. Assim, U é fechado sob multiplicação por escalars.
Resposta
Como o conjunto U contém o vetor zero, é fechado sob adição de vetores e sob multiplicação por escalares em
, podemos concluir que
é de fato um espaço vetorial sobre
.
Exercícios relacionados
Dados os vetores
, determine escalares
tais que
.
(b)
(b)
Dados os vetores
, determine escalares
não todos nulos tais que
.
©
©
Determine quais dos seguintes pares são vetores em
.
©
©
Determine quais dos seguintes pares são vetores em
.
(b)
(b)