Dados A=(x, 5), B=(-2,3) e C=(4,1), obter x tal que A equidiste de B e C.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para encontrar o valor de tal que o ponto esteja equidistante dos pontos e . Isso envolve o conceito de distância entre pontos no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. A fórmula da distância entre dois pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e é dada por:

Passo 3

Como queremos que dAB = raiz(x - (-2))^2 + (5 - 3)^2 = raiz(x + 2)^2 + 2^2 = raiz(x + 2)^2 + 4 seja equidistante de dAC = raiz(x - 4)^2 + (5 - 1)^2 = raiz(x - 4)^2 + 4^2 = raiz(x - 4)^2 + 16 e , vamos calcular a distância de até e de até e igualá-las.
Distância entre e :
Distância entre e :

Passo 4

Igualamos as duas distâncias:
raiz(x + 2)^2 + 4 = raiz(x - 4)^2 + 16
Para resolver, vamos eliminar as raízes quadradas elevando ambos os lados ao quadrado:
(x + 2)^2 + 4 = (x - 4)^2 + 16
Expandindo os quadrados:
x^2 + 4x + 4 + 4 = x^2 - 8x + 16 + 16
Simplificando:
x^2 + 4x + 8 = x^2 - 8x + 32
Subtraindo 4x + 8 = -8x + 32 de ambos os lados:
12x + 8 = 32
Somando 12x = 24 em ambos os lados:
x = 2
Subtraindo 8 de ambos os lados:
Dividindo por 12:

Resposta

O valor de que torna o ponto equidistante de e é .

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