Num triângulo A B C são dados: A=(2,0) ; M=(-1,4), que é ponto médio do lado A B ; d(A, B)=10 e d(B, C)=10 raiz2. Obter os outros vértices de triang<= A B C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica juntos! A gente tem um triângulo com o vértice e o ponto , que é o ponto médio do lado . Além disso, sabemos que a distância entre e é 10 unidades, e a distância entre e é . Nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas dos outros vértices e do triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto M = ( xA + xB2, yA + yB2 ) . Sabemos que (-1, 4) = ( 2 + xB2, 0 + yB2 ) é o ponto médio de 2 + xB2 = -1 e 0 + yB2 = 4 , então podemos usar a fórmula do ponto médio:
2 + xB = -2 implies xB = -4
Substituindo os valores que temos:
yB2 = 4 implies yB = 8
Isso nos dá duas equações:
Resolvendo a primeira equação para :
E a segunda equação para :
Então, as coordenadas de são .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas de d(B, C) = raiz(xC - xB)^2 + (yC - yB)^2 . Sabemos que a distância entre 10raiz2 = raiz(xC + 4)^2 + (yC - 8)^2 e 200 = (xC + 4)^2 + (yC - 8)^2 é . Para isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos:
Sabendo que , temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Essa é a equação de um círculo com centro em e raio .

Passo 4

Para determinar A = (2, 0) e B = (-4, 8) , precisamos de mais informações ou de um outro ponto. Porém, como estamos trabalhando com triângulos, podemos assumir que AB = (-4 - 2, 8 - 0) = (-6, 8) está em uma posição tal que forma um triângulo com as distâncias dadas. Sem mais restrições, existem duas possibilidades para , pois pode estar acima ou abaixo da linha .
Vamos considerar a possibilidade de estar acima da linha . Para isso, podemos escolher uma direção perpendicular a para encontrar .
Primeiro, vamos encontrar a direção da reta :
O vetor é:
Uma direção perpendicular a pode ser ou .

Passo 5

Vamos usar o vetor | (8, 6) | = raiz8^2 + 6^2 = raiz64 + 36 = raiz100 = 10 para encontrar v = (8raiz2, 6raiz2) . Como o raio é C = B + v = (-4 + 8raiz2, 8 + 6raiz2) , precisamos escalar o vetor para ter esse comprimento. Primeiro, calculamos o comprimento do vetor :
Precisamos que o comprimento seja , então multiplicamos o vetor por :
Agora, somamos esse vetor ao ponto para encontrar :

Resposta

Os outros vértices do triângulo são e .

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