Prove (vetorialmente!) que os pontos
e
são vértices de um paralelogramo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar, usando vetores, que os pontos
,
,
e
são vértices de um paralelogramo. Vamos usar a matéria de Geometria Vetorial para isso. Precisamos calcular os vetores que ligam esses pontos e mostrar que os lados opostos são iguais, que é uma característica dos paralelogramos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor. Na geometria, um vetor é representado por uma seta que tem direção e sentido, e pode ser descrito pelas suas componentes em relação aos eixos
e
. Para encontrar o vetor que liga dois pontos, subtraímos as coordenadas do ponto de partida das coordenadas do ponto de chegada.
Passo 3
Vamos identificar os vetores que formam os lados do quadrilátero
:
- Vetor
: de a - Vetor
: de a - Vetor
: de a - Vetor
: de a
Vamos calcular cada um deles usando a fórmula:
Calculando:
Passo 4
Agora, vamos comparar os vetores opostos:
-
e -
e
Observamos que:
Isso significa que os vetores opostos têm a mesma magnitude e direção, mas sentidos opostos, ou seja, são iguais em tamanho e opostos em direção.
Passo 5
Como os lados opostos
e
são iguais, e
e
também são iguais, isso confirma que os lados opostos de
são congruentes e paralelos. Essa é a característica fundamental de um paralelogramo na Geometria Vetorial.
Resposta
Os pontos
,
,
e
formam um paralelogramo, pois os vetores opostos
e
, assim como
e
, são iguais em magnitude e direção.