Prove (vetorialmente!) que os pontos A=(2,1), B=(5,2), C=(6,5) e D=(3,4) são vértices de um paralelogramo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar, usando vetores, que os pontos , , e são vértices de um paralelogramo. Vamos usar a matéria de Geometria Vetorial para isso. Precisamos calcular os vetores que ligam esses pontos e mostrar que os lados opostos são iguais, que é uma característica dos paralelogramos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor. Na geometria, um vetor é representado por uma seta que tem direção e sentido, e pode ser descrito pelas suas componentes em relação aos eixos e . Para encontrar o vetor que liga dois pontos, subtraímos as coordenadas do ponto de partida das coordenadas do ponto de chegada.

Passo 3

Vamos identificar os vetores que formam os lados do quadrilátero XY = (xY - xX, yY - yX) :
  • Vetor AB = (5 - 2, 2 - 1) = (3, 1) : de BC = (6 - 5, 5 - 2) = (1, 3) a CD = (3 - 6, 4 - 5) = (-3, -1)
  • Vetor DA = (2 - 3, 1 - 4) = (-1, -3) : de a
  • Vetor : de a
  • Vetor : de a
Vamos calcular cada um deles usando a fórmula:
Calculando:

Passo 4

Agora, vamos comparar os vetores opostos:
  • AB = -CD e BC = -DA e
  • e
Observamos que:
Isso significa que os vetores opostos têm a mesma magnitude e direção, mas sentidos opostos, ou seja, são iguais em tamanho e opostos em direção.

Passo 5

Como os lados opostos e são iguais, e e também são iguais, isso confirma que os lados opostos de são congruentes e paralelos. Essa é a característica fundamental de um paralelogramo na Geometria Vetorial.

Resposta

Os pontos , , e formam um paralelogramo, pois os vetores opostos e , assim como e , são iguais em magnitude e direção.

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