Prove as seguintes unicidades: Se
, então,
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que provar que, se
, então
é o inverso de
, ou seja,
. Esse problema está relacionado ao conceito de inverso em álgebra, especificamente em estruturas como grupos ou corpos onde cada elemento tem um inverso multiplicativo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um inverso e como ele se relaciona com a operação dada.
Passo 2
Vamos começar lembrando o que é um inverso multiplicativo. Em uma estrutura onde a multiplicação é definida, um elemento
é chamado de inverso de
se, quando multiplicado por
, resulta no elemento neutro da multiplicação, que é
. Ou seja:
Isso significa que multiplicar um elemento pelo seu inverso “desfaz” a multiplicação, voltando ao neutro
.
Passo 3
Agora, segundo a condição dada no problema, temos que
. Isso se parece muito com a definição de um inverso. Comparando com a definição:
Podemos ver que
está desempenhando o papel de
.
Passo 4
Para ter certeza de que
é de fato o inverso de
, precisamos também verificar que multiplicando na ordem inversa também dá
. Ou seja, precisamos que:
Se isso for verdadeiro, então
não só “desfaz”
na multiplicação pela esquerda, mas também pela direita, confirmando que
é o inverso de
.
Passo 5
Assumindo que a estrutura onde estamos trabalhando é tal que a multiplicação é associativa e que cada elemento tem um único inverso, então, dado que
, automaticamente temos que
deve ser o único elemento que satisfaz essa condição para
. Portanto,
é necessariamente
.
Resposta
Portanto, se
, então
.
Exercícios relacionados
a) Exiba todos os polinômios em
que são irredutíveis sobre
Prove as seguintes unicidades: Se
, então,
.
Prove que
para todo
e
.
Dados
, se
, prove que
.