Prove as seguintes unicidades: Se , então, .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que provar que, se , então é o inverso de , ou seja, . Esse problema está relacionado ao conceito de inverso em álgebra, especificamente em estruturas como grupos ou corpos onde cada elemento tem um inverso multiplicativo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um inverso e como ele se relaciona com a operação dada.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que é um inverso multiplicativo. Em uma estrutura onde a multiplicação é definida, um elemento é chamado de inverso de se, quando multiplicado por , resulta no elemento neutro da multiplicação, que é . Ou seja:
Isso significa que multiplicar um elemento pelo seu inverso “desfaz” a multiplicação, voltando ao neutro .

Passo 3

Agora, segundo a condição dada no problema, temos que . Isso se parece muito com a definição de um inverso. Comparando com a definição:
Podemos ver que está desempenhando o papel de .

Passo 4

Para ter certeza de que é de fato o inverso de , precisamos também verificar que multiplicando na ordem inversa também dá . Ou seja, precisamos que:
Se isso for verdadeiro, então não só “desfaz” na multiplicação pela esquerda, mas também pela direita, confirmando que é o inverso de .

Passo 5

Assumindo que a estrutura onde estamos trabalhando é tal que a multiplicação é associativa e que cada elemento tem um único inverso, então, dado que , automaticamente temos que deve ser o único elemento que satisfaz essa condição para . Portanto, é necessariamente .

Resposta

Portanto, se , então .

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Prove as seguintes unicidades: Se , então, .
Prove que
para todo e .
Dados , se , prove que .