Prove que
para todo
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que:
Esse exercício é de álgebra, mais especificamente sobre séries geométricas. Para resolver, vamos precisar entender como somar uma sequência de potências de
e manipular a expressão algébrica que temos.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a soma do lado direito da equação:
. Isso é uma soma de termos onde cada termo é
elevado a uma potência crescente, começando de 0 até
. Esse tipo de soma é conhecido como série geométrica.
Passo 3
Agora, sabemos que a soma de uma série geométrica finita pode ser calculada usando a fórmula:
Aqui,
representa a soma da série, que no nosso caso é
.
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula à nossa soma:
Isso mostra que a soma dos termos da série geométrica é exatamente igual à expressão que queremos provar.
Resposta
Portanto, provamos que:
para todo
e
.
Exercícios relacionados
Prove as seguintes unicidades: Se
, então,
.
a) Exiba todos os polinômios em
que são irredutíveis sobre
Dados
, se
, prove que
.
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função
, no ponto
.