Prove que
para todo e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que:
Esse exercício é de álgebra, mais especificamente sobre séries geométricas. Para resolver, vamos precisar entender como somar uma sequência de potências de e manipular a expressão algébrica que temos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a soma do lado direito da equação: . Isso é uma soma de termos onde cada termo é elevado a uma potência crescente, começando de 0 até . Esse tipo de soma é conhecido como série geométrica.

Passo 3

Agora, sabemos que a soma de uma série geométrica finita pode ser calculada usando a fórmula:
Aqui, representa a soma da série, que no nosso caso é .

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula à nossa soma:
Isso mostra que a soma dos termos da série geométrica é exatamente igual à expressão que queremos provar.

Resposta

Portanto, provamos que:
para todo e .

Exercícios relacionados

Prove as seguintes unicidades: Se , então, .
a) Exiba todos os polinômios em que são irredutíveis sobre
Dados , se , prove que .
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função , no ponto .