Dados , considere as seguintes operações definidas em :
Mostre que com essas operações, não é um -espaço vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de Álgebra Linear que envolve verificar se um conjunto com certas operações é um espaço vetorial. O problema é: dado o conjunto com a adição usual e uma definição específica para multiplicação por escalar, precisamos mostrar que isso não forma um espaço vetorial sobre . Para resolver isso, vamos lembrar das propriedades que definem um espaço vetorial e verificar qual delas não está sendo satisfeita com as operações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um corpo (nesse caso, ) precisa satisfazer algumas propriedades, como fechamento na adição e multiplicação por escalar, existência de elemento neutro, existência de inversos, distributividade, entre outras. Se alguma dessas propriedades não for atendida, então não temos um espaço vetorial.
Passo 3
Vamos examinar as operações definidas no problema:
Adição:
Essa é a adição usual de vetores em e ela satisfaz todas as propriedades necessárias para a adição em um espaço vetorial, como associatividade, comutatividade, existência de um zero vetorial, etc.
Passo 4
Multiplicação por escalar:
Aqui, a multiplicação por escalar está definida de forma diferente. Ao invés de multiplicar cada componente por , estamos multiplicando por . Vamos verificar se isso satisfaz as propriedades de multiplicação por escalar em um espaço vetorial.
Passo 5
Uma das propriedades fundamentais da multiplicação por escalar em um espaço vetorial é a distributividade do escalar em relação à multiplicação de escalares, ou seja:
Vamos testar essa propriedade com a definição dada.
Passo 6
Calculando ambos os lados da equação:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Comparando os dois lados, temos no esquerdo e no direito. Claramente, a menos que , o que não é verdade para todos os e .
Passo 7
Como a propriedade de distributividade não é satisfeita com a definição de multiplicação por escalar dada, podemos concluir que as operações definidas não tornam um espaço vetorial sobre .
Resposta
Portanto, não é um espaço vetorial com as operações definidas, já que a multiplicação por escalar não satisfaz as propriedades necessárias.