Dados
, considere as seguintes operações definidas em
:
Mostre que com essas operações,
não é um
-espaço vetorial.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre operações em
, que é o espaço tridimensional dos números reais. A questão nos dá duas operações: a soma de dois vetores sempre dá o vetor zero
, e a multiplicação de um vetor por um número real
é feita multiplicando cada componente do vetor por
. Nosso objetivo é mostrar que, com essas operações,
não forma um espaço vetorial sobre
. Para resolver isso, vamos lembrar dos axiomas que definem um espaço vetorial e verificar qual deles não está sendo satisfeito pelas operações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde duas operações estão definidas: a adição de vetores e a multiplicação de um vetor por um escalar (número real, no caso). Para que
seja um espaço vetorial, essas operações precisam satisfazer certos axiomas, como a existência de um vetor zero, a existência de inversos aditivos, a comutatividade da adição, entre outros.
Passo 3
Vamos verificar o primeiro axioma: existência do vetor zero. A definição da operação de adição já nos dá que a soma de quaisquer dois vetores é sempre o vetor zero
. Isso já indica algo estranho, pois normalmente só o vetor zero é o vetor que, somado a qualquer outro vetor, retorna esse outro vetor.
Passo 4
Agora, vamos olhar para o axioma da existência de inversos aditivos. Esse axioma diz que para todo vetor
, existe um vetor
tal que
. No nosso caso, como
para quaisquer vetores
e
, isso não faz sentido porque isso implicaria que todo vetor é o inverso additivo de qualquer outro, o que não é possível a menos que todos os vetores sejam zero.
Passo 5
Outro axioma importante é a comutatividade da adição:
. No nosso caso, como a soma de quaisquer dois vetores sempre dá
, esse axioma aparentemente é satisfeito, mas não é suficiente para garantir que
seja um espaço vetorial.
Passo 6
Finalmente, vamos considerar o axioma da existência de um elemento neutro: existe um vetor zero tal que
para qualquer vetor
. No nosso caso, a soma de dois vetores sempre dá zero, então
para quaisquer
e
, o que não cumpre o requisito de que
.
Resposta
Com essas observações, percebemos que as operações definidas não satisfazem os axiomas necessários para
ser um espaço vetorial sobre
. Especificamente, a definição da adição não permite que cada vetor tenha um inverso aditivo único, e não existe um vetor zero que funcione corretamente com a adição. Portanto,
não é um
-espaço vetorial com as operações dadas.