Dados , considere as seguintes operações definidas em :
Mostre que com essas operações, não é um -espaço vetorial.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre operações em , que é o espaço tridimensional dos números reais. A questão nos dá duas operações: a soma de dois vetores sempre dá o vetor zero , e a multiplicação de um vetor por um número real é feita multiplicando cada componente do vetor por . Nosso objetivo é mostrar que, com essas operações, não forma um espaço vetorial sobre . Para resolver isso, vamos lembrar dos axiomas que definem um espaço vetorial e verificar qual deles não está sendo satisfeito pelas operações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde duas operações estão definidas: a adição de vetores e a multiplicação de um vetor por um escalar (número real, no caso). Para que seja um espaço vetorial, essas operações precisam satisfazer certos axiomas, como a existência de um vetor zero, a existência de inversos aditivos, a comutatividade da adição, entre outros.
Passo 3
Vamos verificar o primeiro axioma: existência do vetor zero. A definição da operação de adição já nos dá que a soma de quaisquer dois vetores é sempre o vetor zero . Isso já indica algo estranho, pois normalmente só o vetor zero é o vetor que, somado a qualquer outro vetor, retorna esse outro vetor.
Passo 4
Agora, vamos olhar para o axioma da existência de inversos aditivos. Esse axioma diz que para todo vetor , existe um vetor tal que . No nosso caso, como para quaisquer vetores e , isso não faz sentido porque isso implicaria que todo vetor é o inverso additivo de qualquer outro, o que não é possível a menos que todos os vetores sejam zero.
Passo 5
Outro axioma importante é a comutatividade da adição: . No nosso caso, como a soma de quaisquer dois vetores sempre dá , esse axioma aparentemente é satisfeito, mas não é suficiente para garantir que seja um espaço vetorial.
Passo 6
Finalmente, vamos considerar o axioma da existência de um elemento neutro: existe um vetor zero tal que para qualquer vetor . No nosso caso, a soma de dois vetores sempre dá zero, então para quaisquer e , o que não cumpre o requisito de que .
Resposta
Com essas observações, percebemos que as operações definidas não satisfazem os axiomas necessários para ser um espaço vetorial sobre . Especificamente, a definição da adição não permite que cada vetor tenha um inverso aditivo único, e não existe um vetor zero que funcione corretamente com a adição. Portanto, não é um -espaço vetorial com as operações dadas.