Verifique se
com as operações abaixo é um
-espaço vetorial:
para quaisquer
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o espaço
, que normalmente é o plano cartesiano com operações de adição e multiplicação por escalar padrão. Mas aqui, as operações estão diferentes:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Queremos verificar se, com essas novas operações,
ainda é um espaço vetorial sobre os números reais. Para isso, vamos precisar lembrar das axiomas de um espaço vetorial e verificar se eles são satisfeitos com essas operações.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar rapidamente o que são os axiomas de um espaço vetorial. Existem várias condições que precisam ser verdadeiras para que um conjunto com certas operações seja considerado um espaço vetorial. Alguns dos principais são:
- Comutatividade da adição:
- Associatividade da adição:
- Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero tal que
- Elemento inverso da adição: Para todo vetor
, existe tal que - Compatibilidade da multiplicação por escalar:
- Distribuição da multiplicação por escalar sobre a adição vetorial:
- Distribuição da multiplicação por escalar sobre a adição de escalares:
- Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Vamos verificar alguns desses axiomas com as operações dadas.
Passo 3
Vamos começar verificando a comutatividade da adição. Seja
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Para que a adição seja comutativa, precisamos que
. Ou seja:
Isso implica que:
Essas igualdades só são verdadeiras se
, o que nem sempre acontece para todos os vetores
e
. Portanto, a comutatividade da adição não é satisfeita.
Passo 4
Como já identificamos que a comutatividade da adição não é satisfeita, não precisamos verificar todos os outros axiomas. Basta que um único axioma não seja atendido para concluir que
com as operações dadas não é um espaço vetorial.
Resposta
Com base na análise dos axiomas de um espaço vetorial, concluímos que
com as operações de adição
e multiplicação por escalar
não é um espaço vetorial sobre os números reais.