(UFF) Sendo i a unidade imaginária, para que z=4 x-i4-x i ; x in R, seja um número real, é necessário que x seja igual a:
E) pm 3 raiz2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a expressão , onde é a unidade imaginária e é um número real. Queremos descobrir para quais valores de essa expressão será um número real. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com números complexos e entender como igualar uma fração de números complexos a um número real.

Passo 2

Sabemos que um número complexo é da forma , onde é a parte real e é a parte imaginária. Para que seja real, a parte imaginária deve ser igual a zero. Portanto, nosso objetivo é fazer com que a parte imaginária da expressão seja zero.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão z = 4x - i4 - xi times 4 + xi4 + xi = (4x - i)(4 + xi)(4 - xi)(4 + xi) . Para isso, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de é .

Passo 4

Agora, vamos expandir o numerador e o denominador:
Numerador:
(4x - i)(4 + xi) = 16x + 4x cdot xi - 4i - i cdot xi^2
Lembrando que 16x + 4x^2i - 4i + x , temos:
16x + x + (4x^2 - 4)i = 17x + (4x^2 - 4)i
Simplificando:
(4 - xi)(4 + xi) = 16 + 4xi - 4xi - x^2i^2 = 16 + x^2
Denominador:
Porque , o termo vira .

Passo 5

Agora, nossa expressão z = 17x + (4x^2 - 4)i16 + x^2 fica:
4x^2 - 416 + x^2 = 0
Para ser real, a parte imaginária deve ser zero. Ou seja:

Passo 6

Resolvendo a equação 4x^2 - 4 = 0 , sabemos que uma fração é igual a zero quando o numerador é zero (desde que o denominador não seja zero).
Então, temos:
4x^2 = 4
x^2 = 1
x = pm 1

Passo 7

No entanto, ao verificar as opções dadas na questão, vemos que (4x - i)(4 + xi) = 16x + 4x^2i - 4i - x i^2 não estão listados. Isso indica que pode ter havido um erro na simplificação ou no entendimento da expressão inicial. Vamos revisar o cálculo.
Voltando ao passo 4, a expansão correta do numerador deve ser:
16x + 4x^2i - 4i + x
Como 17x + i(4x^2 - 4) :
4x^2 - 4 = 0 Rightarrow x^2 = 1 Rightarrow x = pm 1
Então, a parte imaginária é . Para que isso seja zero:
Mas as opções são , então precisamos revisar novamente.

Passo 8

Vamos tentar uma abordagem diferente. Sabemos que para 4x - i = k(4 - xi) ser real, o numerador deve ser um múltiplo real do denominador. Ou seja:
Onde é um número real.
Comparando as partes reais e imaginárias:
Parte real:
Parte imaginária:
Ainda assim, chegamos a . Parece que há uma inconsistência entre a resolução e as opções fornecidas. Portanto, revisando cuidadosamente todos os passos, percebemos que a resposta correta deveria ser , mas como nas opções está , pode ser que a questão tenha um erro nas alternativas ou na formulação original.

Resposta

Após a análise, o valor de que torna um número real é .

Exercícios relacionados