(UFF) Sendo a unidade imaginária, para que , seja um número real, é necessário que seja igual a:
E) .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a expressão , onde é a unidade imaginária e é um número real. Queremos descobrir para quais valores de essa expressão será um número real. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com números complexos e entender como igualar uma fração de números complexos a um número real.

Passo 2

Sabemos que um número complexo é da forma , onde é a parte real e é a parte imaginária. Para que seja real, a parte imaginária deve ser igual a zero. Portanto, nosso objetivo é fazer com que a parte imaginária da expressão seja zero.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão . Para isso, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de é .

Passo 4

Agora, vamos expandir o numerador e o denominador:
Numerador:
Lembrando que , temos:
Simplificando:
Denominador:
Porque , o termo vira .

Passo 5

Agora, nossa expressão fica:
Para ser real, a parte imaginária deve ser zero. Ou seja:

Passo 6

Resolvendo a equação , sabemos que uma fração é igual a zero quando o numerador é zero (desde que o denominador não seja zero).
Então, temos:

Passo 7

No entanto, ao verificar as opções dadas na questão, vemos que não estão listados. Isso indica que pode ter havido um erro na simplificação ou no entendimento da expressão inicial. Vamos revisar o cálculo.
Voltando ao passo 4, a expansão correta do numerador deve ser:
Como :
Então, a parte imaginária é . Para que isso seja zero:
Mas as opções são , então precisamos revisar novamente.

Passo 8

Vamos tentar uma abordagem diferente. Sabemos que para ser real, o numerador deve ser um múltiplo real do denominador. Ou seja:
Onde é um número real.
Comparando as partes reais e imaginárias:
Parte real:
Parte imaginária:
Ainda assim, chegamos a . Parece que há uma inconsistência entre a resolução e as opções fornecidas. Portanto, revisando cuidadosamente todos os passos, percebemos que a resposta correta deveria ser , mas como nas opções está , pode ser que a questão tenha um erro nas alternativas ou na formulação original.

Resposta

Após a análise, o valor de que torna um número real é .

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