(UFF) Sendo
a unidade imaginária, para que
, seja um número real, é necessário que
seja igual a:
E)
.
E)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a expressão
, onde
é a unidade imaginária e
é um número real. Queremos descobrir para quais valores de
essa expressão
será um número real. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com números complexos e entender como igualar uma fração de números complexos a um número real.
Passo 2
Sabemos que um número complexo é da forma
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária. Para que
seja real, a parte imaginária deve ser igual a zero. Portanto, nosso objetivo é fazer com que a parte imaginária da expressão
seja zero.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão
. Para isso, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de
é
.
Passo 4
Agora, vamos expandir o numerador e o denominador:
Numerador:
Lembrando que
, temos:
Simplificando:
Denominador:
Porque
, o termo
vira
.
Passo 5
Agora, nossa expressão
fica:
Para
ser real, a parte imaginária deve ser zero. Ou seja:
Passo 6
Resolvendo a equação
, sabemos que uma fração é igual a zero quando o numerador é zero (desde que o denominador não seja zero).
Então, temos:
Passo 7
No entanto, ao verificar as opções dadas na questão, vemos que
não estão listados. Isso indica que pode ter havido um erro na simplificação ou no entendimento da expressão inicial. Vamos revisar o cálculo.
Voltando ao passo 4, a expansão correta do numerador deve ser:
Como
:
Então, a parte imaginária é
. Para que isso seja zero:
Mas as opções são
, então precisamos revisar novamente.
Passo 8
Vamos tentar uma abordagem diferente. Sabemos que para
ser real, o numerador deve ser um múltiplo real do denominador. Ou seja:
Onde
é um número real.
Comparando as partes reais e imaginárias:
Parte real:
Parte imaginária:
Parte real:
Parte imaginária:
Ainda assim, chegamos a
. Parece que há uma inconsistência entre a resolução e as opções fornecidas. Portanto, revisando cuidadosamente todos os passos, percebemos que a resposta correta deveria ser
, mas como nas opções está
, pode ser que a questão tenha um erro nas alternativas ou na formulação original.
Resposta
Após a análise, o valor de
que torna
um número real é
.
Exercícios relacionados
Verifique se
com as operações abaixo é um
-espaço vetorial:
para quaisquer
.
Forme a equação do plano que possui um ponto
e que é perpendicular à reta
Dados
, considere as seguintes operações definidas em
:
Mostre que com essas operações,
não é um
-espaço vetorial.
Some os produtos das diagonais que descem e subtraia os produtos das que sobem. Use esse método para calcular os determinantes dos Exercícios de 15 a 18. Cuidado: Esse esquema não se generaliza de nenhuma forma razoável para matrizes
ou maiores.