Dar a aproximação linear (ou diferencial) para a função
(1+x)^4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a aproximação linear (ou diferencial) para a função . Isso pertence ao conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre aproximações lineares e diferenciais. Para resolver isso, a gente vai precisar usar a derivada da função e entender como montar a reta tangente que melhor aproxima a função perto de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma aproximação linear. Imagine que a gente quer aproximar uma função complicada por uma reta simples perto de um certo ponto. Essa reta é a aproximação linear e é basicamente a reta tangente à função nesse ponto. A fórmula geral para a aproximação linear de uma função em torno de um ponto é:
Aqui, é o valor da função no ponto e é a derivada da função nesse ponto, que representa a inclinação da reta tangente.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função . Primeiro, precisamos escolher um ponto onde vamos fazer a aproximação. O mais comum é escolher , porque facilita os cálculos e geralmente é suficiente para aproximações simples.

Passo 4

Vamos calcular , que neste caso é :
Então, o valor da função no ponto é 1.

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada da função . Usando a regra do poder da derivada, que diz que , temos:

Passo 6

Vamos agora calcular , que é :
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é 4.

Passo 7

Agora que temos e , podemos montar a fórmula da aproximação linear usando a fórmula que vimos no Passo 2:

Resposta

A aproximação linear para a função é:

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