Dar a aproximação linear (ou diferencial) para a função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a aproximação linear (ou diferencial) para a função
. Isso pertence ao conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre aproximações lineares e diferenciais. Para resolver isso, a gente vai precisar usar a derivada da função e entender como montar a reta tangente que melhor aproxima a função perto de um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma aproximação linear. Imagine que a gente quer aproximar uma função complicada por uma reta simples perto de um certo ponto. Essa reta é a aproximação linear e é basicamente a reta tangente à função nesse ponto. A fórmula geral para a aproximação linear de uma função
em torno de um ponto
é:
Aqui,
é o valor da função no ponto
e
é a derivada da função nesse ponto, que representa a inclinação da reta tangente.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função
. Primeiro, precisamos escolher um ponto
onde vamos fazer a aproximação. O mais comum é escolher
, porque facilita os cálculos e geralmente é suficiente para aproximações simples.
Passo 4
Vamos calcular
, que neste caso é
:
Então, o valor da função no ponto
é 1.
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada da função
. Usando a regra do poder da derivada, que diz que
, temos:
Passo 6
Vamos agora calcular
, que é
:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto
é 4.
Passo 7
Agora que temos
e
, podemos montar a fórmula da aproximação linear usando a fórmula que vimos no Passo 2:
Resposta
A aproximação linear para a função
é: