Dar a aproximação linear (ou diferencial) para a função
.
Usar o resultado anterior para aproximar
.
Usar o resultado anterior para aproximar
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a aproximação linear (também chamada de diferencial) da função
. Depois, vamos usar essa aproximação para estimar o valor de
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a ideia de linearização de funções para aproximar valores próximos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é aproximação linear. Basicamente, ela nos permite estimar o valor de uma função perto de um ponto conhecido usando a reta tangente nesse ponto. A fórmula da aproximação linear de uma função
em torno de
é:
Aqui,
é a derivada de
avaliada em
.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função
. Precisamos escolher um ponto
próximo de onde queremos fazer a aproximação. Como queremos aproximar
, podemos reescrever
como
. Assim, escolhemos
, já que
, e é fácil calcular.
Passo 4
Agora, vamos calcular
e
:
Primeiro,
.
Agora, precisamos da derivada de
:
Então,
.
Passo 5
Com esses valores, podemos montar a fórmula da aproximação linear:
Então, nossa aproximação linear é
.
Passo 6
Agora, vamos usar essa aproximação para estimar
. Como escrevemos
, podemos reescrever a função como
com
.
Aplicando na nossa aproximação linear:
Resposta
Aproximação linear de
é
. Usando essa aproximação,
é aproximadamente 0,972.