Dar a aproximação linear (ou diferencial) para a função
(1+x)^4.
Usar o resultado anterior para aproximar (1,993)^4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a aproximação linear (também chamada de diferencial) da função . Depois, vamos usar essa aproximação para estimar o valor de . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a ideia de linearização de funções para aproximar valores próximos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é aproximação linear. Basicamente, ela nos permite estimar o valor de uma função perto de um ponto conhecido usando a reta tangente nesse ponto. A fórmula da aproximação linear de uma função em torno de é:
Aqui, é a derivada de avaliada em .

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função . Precisamos escolher um ponto próximo de onde queremos fazer a aproximação. Como queremos aproximar , podemos reescrever como . Assim, escolhemos , já que , e é fácil calcular.

Passo 4

Agora, vamos calcular e :
Primeiro, .
Agora, precisamos da derivada de :
Então, .

Passo 5

Com esses valores, podemos montar a fórmula da aproximação linear:
Então, nossa aproximação linear é .

Passo 6

Agora, vamos usar essa aproximação para estimar . Como escrevemos , podemos reescrever a função como com .
Aplicando na nossa aproximação linear:

Resposta

Aproximação linear de é . Usando essa aproximação, é aproximadamente 0,972.

Exercícios relacionados